Question

Докажите что уравнение xy+yx+xy=1 неразрешимо в натуральных числах

Answer 1

От перемены мест сомножителей произведение не меняется, так что ух=ху. Значит,
ху+ху+ху=1
3ху = 1
х=1/(3у)
Или
у=1(3х)
Отсюда видно, что если у натуральное число, то х<1, то есть является ненатуральным, дробным числом. И наоборот, если х натуральное число, то у<1, то есть является ненатуральным, дробным числом.
Следовательно, уравнение неразрешимо в натуральных числах, то есть если один из корней - натуральное число, то второй корень обязательно является дробью.

Answer 2

Предположим, что уравнение $xy+yx+xy=1$ имеет решение в натуральных числах $x$ и $y$. Тогда мы можем переписать уравнение в виде $2xy+x^2=1$, что эквивалентно $x(2y+x)=1$.

Так как $x$ и $y$ являются натуральными числами, то $x(2y+x)$ также является натуральным числом. Однако, существует только два натуральных числа, которые могут быть разложены на произведение двух натуральных чисел, отличных от единицы: это 4 и 6. Так как $2y+x$ не может быть равно 1 (иначе $x(2y+x)=x=1$), то $2y+x$ должно быть равно 2, 3, 4, или 6.

Если $2y+x=2$, то $y=1-x/2$. Но $y$ должно быть натуральным числом, а $1-x/2$ не является натуральным числом для любого натурального $x$.

Если $2y+x=3$, то $y=(3-x)/2$. Опять же, $y$ не является натуральным числом для любого натурального $x$.

Если $2y+x=4$, то $y=(4-x)/2=2-x/2$. Но для любого натурального $x$ значение $2-x/2$ не является натуральным числом.

Наконец, если $2y+x=6$, то $y=(6-x)/2=3-x/2$. Опять же, для любого натурального $x$ значение $3-x/2$ не является натуральным числом.

Таким образом, не существует натуральных чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяют уравнению $xy+yx+xy=1$. Следовательно, уравнение неразрешимо в натуральных числах.