Question

Докажите что если а + 2b= 3c и b + 2c=3a, то c + 2a=3b

Answer 1

Пошаговое объяснение:

а=3с-2б, также а=(б+2с)/3

приравниваем части, получаем, что

9с-6б=б+2с, 7б=7с, а значит б=с

б=(3с-а)/2, также б=3а-2с

приравниваем части, получаем, что

6а-4с=3с-а, 7а=7с, а значит а=б=с

в таком случае с+2а=3а=3б, чтд

Answer 2

Начнём с заданных равенств:

a + 2b = 3c (1)

b + 2c = 3a (2)

Умножим обе части первого равенства на 2:

2a + 4b = 6c (3)

Вычтем из этого удвоенного первого равенства уравнение (2), умноженное на 2:

2a + 4b - 2b - 4c = 6c - 6a

2a + 2b - 4c = 6c - 6a

Упростим:

a + b - 2c = 3c - 3a

a + b + 3a - 3c = 3c - 2c + 3a - b

4a - 2c = b + c

Теперь умножим обе части уравнения (2) на 2:

2b + 4c = 6a

Вычтем из этого удвоенного второго равенства уравнение (1), умноженное на 2:

2b + 4c - 2a - 4b = 6a - 6c

-2a + 2b + 4c = 6a - 6c

2b + 4c - 2a - 6c + 6a = 3c + 3b - 3a + 6a - 6c

2b - 2a + 2a + 4c - 6c = 3c + 3b - 3a + 6a - 2b

2b - 2a - 2c = 3c + 3b - 3a + 6a - 6c - 3c

2b - 2a - 2c = 9a - 5c

Теперь добавим к этому уравнению уравнение (3), умноженное на 3:

4a - 2c + 6a + 12b = 18c

10a + 12b - 2c = 18c

10a + 12b - 20c = 0

5a + 6b - 10c = 0

Наконец, выразим c + 2a из этого уравнения:

c + 2a = (5a + 6b - 10c) / 3

c + 2a = 5a/3 + 2b - 10c/3

c + 2a = 5a/3 + 2(b - 5c/3)

Заметим, что правая часть последнего уравнения равна 0, так как мы получили её из уравнения, которое равно 0. Следовательно:

c + 2a = 0

c + 2a = 3b/3

c + 2a = 3b - 2b

c + 2a = 3b - 2(b + 2c - 3a)

c + 2a = 3b - 2b - 4c