Question

Исследовать на максимум и минимум y=3x^4-4x^2

Answer 1

Y'=12x³-8x
y'=0
4x(3x²-2)=0
x=0, x=+-√(2/3)
√2/3≈0,8
исследуем методом интервалов
нанесем значения в которых производная =0 на числовую ось и
рассмотрим знаки производной в интервалах 
при x>√2/3 например x=1 y'=12-8=4>0
при 0<х<√2/3  например х=0,5  y'=12*0.125-8*0,5=1,5-4=-2,5 <0
при -√2/3<x<0 например х=-0,5 y'=-1,5+4=2.5>0
при х<√2/3 например х=-1 y'=-12+8=-4<0 
1) в точках где производная меняет знак с - на + минимум это точки
х=-√(2/3)   и х=√(2/3) 
2) в точке где производная меняет знак с - на + максимум это точка х=0

Answer 2

Для исследования функции на максимумы и минимумы, нужно проанализировать ее производные и использовать критерии экстремумов. Давайте найдем производные функции y = 3x^4 - 4x^2.

Первая производная: y' = d/dx (3x^4 - 4x^2) = 12x^3 - 8x

Чтобы найти критические точки, приравняем y' к нулю и решим уравнение: 12x^3 - 8x = 0

Факторизуем это уравнение: 4x(3x^2 - 2) = 0

Таким образом, у нас есть два решения: x1 = 0 и x2 = ±√(2/3)

Теперь, чтобы определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, нам нужно проанализировать вторую производную.

Вторая производная: y'' = d^2/dx^2 (3x^4 - 4x^2) = d/dx (12x^3 - 8x) = 36x^2 - 8

Подставим критические точки во вторую производную: y''(0) = 36(0)^2 - 8 = -8 (меньше нуля) y''(±√(2/3)) = 36(±√(2/3))^2 - 8 = 24(2/3) - 8 = 16 - 8 = 8 (больше нуля)

Исходя из знака второй производной, мы можем сделать выводы о характере критических точек:

1. Для x = 0, y''(0) < 0, поэтому это точка максимума.
2. Для x = ±√(2/3), y''(±√(2/3)) > 0, поэтому это точки минимума.

Итак, функция y = 3x^4 - 4x^2 имеет точку максимума при x = 0 и две точки минимума при x = ±√(2/3).