Question

Помогите пожалуйста решить (xy²-3y²)dx-(2x²+4x²y)dy=0

Answer 1

Решение смотрите в приложении

Answer 2

Для начала необходимо проверить, является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах. Для этого найдём его частные производные по x и y:

∂/∂y (xy² - 3y²) = 2xy - 6y ∂/∂x (2x² + 4x²y) = 4x + 4xy

Заметим, что ∂/∂y (xy² - 3y²) не равно ∂/∂x (2x² + 4x²y). Значит, уравнение не является уравнением в полных дифференциалах.

Чтобы решить данное уравнение, воспользуемся методом разделяющихся переменных. Для этого перепишем его в виде:

(xy² - 3y²)dx = (2x² + 4x²y)dy

Теперь разделим переменные, переместив все члены, содержащие dx, в левую часть уравнения, а все члены, содержащие dy, – в правую:

(xy² - 3y²)dx - (2x² + 4x²y)dy = 0 (xy² - 3y²)dx = (2x² + 4x²y)dy xy² dx - 3y² dx = 2x² dy + 4x²y dy

Далее, поделим обе части уравнения на соответствующие множители:

xy² / (2x²) - 3y² / (4x²) = dy / dx + 2y / x

Полученное уравнение уже разделено на переменные. Интегрируем его, чтобы найти решение:

∫(xy² / (2x²) - 3y² / (4x²)) dx = ∫(dy / dx + 2y / x) dx

(1/2)xy - (3/4)y² = y + 2y ln |x| + C, где C – произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, общее решение уравнения выглядит так:

(1/2)xy - (3/4)y² = y + 2y ln |x| + C

где С - произвольная постоянная.