Question

Треугольник ABC задан координатами своих вершин. Найти 1) уравнения сторон AB иAC , длину стороны AB 2)уравнения и длину высоты CD 3)уравнение медианы AM 4)точку N пересечения медианы AM и высоты CD 5)Уравнение прямой , проходящей через вершину С параллельно сторону AB 6)Расстояние от точки B до прямой AC 7)Угол при вершине А А(8,2) B(14,10) С(-4,7)

Answer 1

Ответ:

Найдем уравнение стороны AB. Уравнение прямой проходящей через точки A (x a, y a) и B (x b, y b) в общем виде: x - x a=y - y a    x b - x ay b - y aПодставим координаты точек A (-4, 2)  и  B (6, -4) в уравнение прямой (1).x - (-4)=y - 26 - (-4)-4 - 2x + 4=y - 210-6x + 4=y - 25-3В знаменателях пропорции стоят числа 5 и -3.ВекторAB = (5, -3) называется направляющим вектором прямой AB.SВекторAB = (5, -3) параллелен прямой AB.S-3 ( x + 4 ) = 5 ( y - 2 )- 3 x - 12 = 5 y - 10- 3 x - 5 y - 2 = 0 - уравнение прямой AB.  

Найдем уравнение высоты CH проведенной из вершины С на сторону АВ. Уравнение прямой проходящей через точки С (x c, y c) и H (x h, y h) в общем виде: x - x c=y - y c(4)x h - x cy h - y cМы не знаем координаты точки H, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой CH.Mы знаем, что прямая CH перпендикулярна прямой AB, следовательно, направляющий вектор прямой CH параллелен нормальному вектору прямой AB.CH ||AB SNT.е. в качестве направляющего вектора прямой CH можно принять NПодставим координаты вектораAB = (-3, -5) в уравнение (4).Nx - x c=y - y c-3-5Подставим координаты точки C (4, 10).x - 4=y - 10-3-5x - 4=y - 10-3-5-5 ( x - 4 ) = -3 ( y - 10 )- 5 x + 20 = - 3 y + 30- 5 x + 3 y - 10 = 0 - уравнение высоты СН.  

Уравнение прямой проходящей через точки A (x a, y a) и M (x m, y m) в общем виде: x - x a=y - y a(6)x m - x ay m - y aМы не знаем координаты точки M, следовательно, нам необходимо найти направляющий вектор прямой AMMы знаем, что прямая AM перпендикулярна прямой CB, следовательно, направляющий вектор прямой AM параллелен нормальному вектору прямой CB.AM ||CBSNT.е. в качестве направляющего вектора прямой AM можно принять нормальный вектор NПодставим координаты вектораCB = (-7, -1) в уравнение (6).Nx - x a=y - y a-7-1Подставим координаты точки A (-4, 2).x - (-4)=y - 2-7-1x + 4=y - 2-7-1-1 ( x + 4 ) = -7 ( y - 2 )- x - 4 = - 7 y + 14- x + 7 y - 18 = 0 - уравнение высоты AM

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы для вычисления длин сторон, уравнений прямых, а также формулы для вычисления высот, медиан и точек пересечения. Начнем по порядку.

1. Длина стороны AB: AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2) = √((14 - 8)^2 + (10 - 2)^2) = √156 = 2√39 Уравнение прямой AB можно найти, используя общее уравнение прямой: (y_B - y_A)x + (x_A - x_B)y + x_By_A - x_Ay_B = 0 Подставляя координаты точек A и B, получаем: (10 - 2)x + (8 - 14)y + 142 - 810 = 0 8x - 6y - 4 = 0 Уравнение прямой AB: 8x - 6y - 4 = 0

Длина стороны AC: AC = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2) = √((-4 - 8)^2 + (7 - 2)^2) = √221 Уравнение прямой AC: (y_C - y_A)x + (x_A - x_C)y + x_Cy_A - x_Ay_C = 0 Подставляя координаты точек A и C, получаем: (7 - 2)x + (8 - (-4))y + (-4)2 - 87 = 0 9x + 12y - 58 = 0 Уравнение прямой AC: 9x + 12y - 58 = 0

2. Высота CD проведена из вершины С к стороне AB. Для нахождения уравнения и длины высоты CD нам нужно найти координаты точки D. Для этого сначала найдем угол между сторонами AC и AB: cos(∠ACB) = ((AC)^2 + (AB)^2 - (BC)^2) / (2 * AC * AB) = (221 + 156 - 170) / (2 * √221 * 2√39) = 3/2√221 sin(∠ACB) = √(1 - cos^2(∠ACB)) = √(1 - 9/4 * 221) = √(35/4) Затем найдем координаты точки D, используя формулу для высоты: x_D = x_C + (y_B - y_C) * AC / AB * sin(∠ACB) y_D = y_C + (x_B - x_C) * AC / AB * sin(∠ACB) x_D = -4 + (10 - 7) * √221 / (2√39) * √(35/4) ≈ -5.5 y_D = 7 + (