Question

Иследовать функции на экстремум y=6x^3+3x^2 y=8/3x^3-3/2x^2 y=4x^2-3x

Answer 1

Даны функции: 
1) y = 6x^3 + 3x^2
2) y = (8/3x^3) - (3/2x^2)
3) y = 4x^2 - 3x.

1) y = 6x^3 + 3x^2.
y' = 18x^2 + 6x = 0.
6x(3x + 1) = 0.
x = 0.
x = (-1/3). Имеем 3 промежутка
На промежутках находят знаки производной (+ - больше нуля, - - меньше нуля). Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.
Находим знаки производной.
x =  -1  -0,33333      -0,2       0        1
y' = 12      0            -0,48       0       24.
х = -1/3   это максимум,
х = 0       это минимум.

2) y = (8/3x³) - (3/2x²)
Приведём  общему знаменателю.
у = (16 - 9х)/6х³.
y' = (-9*6x³ - 18x²(16 - 9x))/36x⁶ = (3x - 8)/x⁴.
Приравниваем нулю числитель: 3х - 8 = 0,   х = 8/3.
Имеем один экстремум.
x =        2       2,666667           3
y' = -0,125           0             0,012346.
В точке х = 8/3 минимум.

3)  y=4x^2-3x   это уравнение параболы ветвями вверх. У неё один экстремум - в точке минимума Хо = -в/2а = 3/(2*4) = 3/8.

Answer 2

Для нахождения экстремумов необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

1. y = 6x^3 + 3x^2

y' = 18x^2 + 6x

18x^2 + 6x = 0

6x(3x + 1) = 0

x1 = 0, x2 = -1/3

y'' = 36x + 6

y''(x1) = 0, y''(x2) = -10

Точка x1 = 0 является точкой минимума, а точка x2 = -1/3 является точкой максимума.

2. y = 8/3x^3 - 3/2x^2

y' = 8x^2 - 3x

8x^2 - 3x = 0

x1 = 0, x2 = 3/8

y'' = 16x - 3

y''(x1) = -3, y''(x2) = 3

Точка x1 = 0 является точкой максимума, а точка x2 = 3/8 является точкой минимума.

3. y = 4x^2 - 3x

y' = 8x - 3

8x - 3 = 0

x = 3/8

y'' = 8

y''(x) = 8 > 0

Точка x = 3/8 является точкой минимума.

Таким образом, мы нашли все точки экстремумов для данных функций.