Question

Натуральное число называется {\it хорошим}, если оно делится на 15 и состоит лишь из цифр 0, 4, 7, причем этих цифр в нём поровну (запись числа не может начинаться с 0). Найдите наименьшее хорошее натуральное число.

Answer 1

Число делится на 15, если оно делится на 3 и делится на 5.

Чтобы хорошее число делилось на 5, в разряде единиц у него должен стоять нуль. Чтобы хорошее число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. Сумма цифр 0, 4 и 7 равна 11. По условию, этих цифр в числе должно быть поровну, поэтому сумма цифр хорошего числа делится на 11. Ясно, что она не может быть меньше 33.

Рассмотрим хорошие числа с суммой цифр 33 - они содержат в своей записи три нуля, три четверки и три семерки. Чтобы число было наименьшим, четверки в записи числа должны находиться левее семерок, а нули левее четверок, но при этом первая цифра числа ненулевая, а последняя является нулем. Легко видеть, что число 400447770 является наименьшим подходящим по условию.

Ответ: 400447770.

Answer 2

Для того чтобы найти наименьшее хорошее натуральное число, следует рассмотреть возможные комбинации цифр 0, 4 и 7, которые делятся на 15 и содержат поровну эти цифры.

Заметим, что число должно иметь нечетную сумму цифр, так как сумма 0, 4 и 7 равна 11, и это число не делится на 15. Поэтому наименьшее хорошее натуральное число должно состоять из трех цифр.

Посмотрим на все возможные комбинации из трех цифр: 047, 074, 407, 470, 704, 740. Из них только число 740 делится на 15 (поскольку 740 = 15 * 49).

Таким образом, наименьшее хорошее натуральное число равно 740.