Question

Найдите соѕ a , если 2 sin^2 a + cosa –1=0 и -3п/2<а<-пПолное решение. ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Перепишем уравнение в следующем виде:

$$2 \sin^2 a + \cos a - 1 = 0$$

Заметим, что это квадратное уравнение относительно функции $\sin a$, и можем решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$\sin^2 a = \frac{1 - \cos a}{2}$$

Тогда исходное уравнение можно переписать в виде:

$$2\cdot\frac{1-\cos a}{2} + \cos a - 1 = 0$$

Упрощая, получаем:

$$-\cos^2 a + \cos a + 1 = 0$$

Решая квадратное уравнение, получаем:

$$\cos a = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$

Так как $-\frac{3\pi}{2} < a < -\pi$, то $\cos a < 0$. Следовательно, можно выбрать отрицательный корень:

$$\cos a = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$$

Теперь найдем значение синуса, используя формулу $\sin^2 a = \frac{1 - \cos a}{2}$:

$$\sin^2 a = \frac{1 - \cos a}{2} = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) = \frac{3+\sqrt{5}}{4}$$

Так как $-\frac{3\pi}{2} < a < -\pi$, то $\sin a < 0$. Следовательно, можно выбрать отрицательный корень:

$$\sin a = -\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{4}} = -\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{2}$$

Таким образом, решение уравнения:

$$a = -\arccos\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

или

$$a = -\pi - \arccos\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$$

Заметим, что первое решение соответствует интервалу $-\frac{3\pi}{2} < a < -\pi$, а второе -- интервалу $-\pi < a < -\frac{\pi}{2}$. Проверим, что решение удовлетворяет исходному уравнению:

$$2\sin^2 a + \cos a - 1 = 2\cdot\frac{3+\sqrt{5}}{4} + \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} - 1 = 0$$

Таким образом, решение найдено и проверено.