Question

Петя написал на доске 20 целых чисел. Затем он нашел сумму каждой пары чисел, написанных на доске. Ровно 96 из этих сумм оказались нечетными. Сколько среди 20 написанных на доске чисел четных, если известно, что их больше, чем нечетных?

Answer 1

Небольшой кортеж из 20 целых чисел имеет число пар, равное числу сочетаний из 20 элементов по 2, то есть (это для начала):
$C= \frac{20!}{2!*18!} = \frac{19*20}{2}=190.$
Таким образом, имеем 96 нечетных сумм и 94 четные суммы. Чётная сумма может быть получена и при сложении двух четных чисел, и при сложении двух нечётных чисел, поэтому рассмотрим только 96 нечетных сумм, которые могут быть получены только при сложении четного и нечётного чисел. Пусть n четных чисел и 20-n нечетных. Получим комбинаторное уравнение: n*(20-n)=96,  $n ^{2} -20n+96=0, n_{1}=12, n_{2} =8$
Значит чётных 12 чисел и 8 нечётных. Ура!

Answer 2

Пусть количество четных чисел, написанных на доске, равно x, а количество нечетных чисел равно y. Также заметим, что каждая сумма пары чисел будет четной, если оба числа в этой паре являются четными или оба числа являются нечетными.

Из условия задачи мы знаем, что сумма каждой пары чисел на доске будет четной, если одно число из пары является четным, а другое нечетным. Всего таких сумм будет (x * y).

Также из условия задачи известно, что ровно 96 сумм из (x * y) сумм окажутся нечетными.

Таким образом, получаем уравнение: (x * y) - 96 = 96 x * y = 192

Мы также знаем, что количество четных чисел (x) больше количества нечетных чисел (y). Рассмотрим возможные пары чисел (x, y), которые удовлетворяют этому условию и уравнению x * y = 192:

(x, y) (2, 96) (4, 48) (8, 24) (12, 16)

Мы видим, что единственное подходящее решение - (12, 16). То есть, на доске написано 12 четных чисел и 16 нечетных чисел.