Question

Вычислить интеграл 2dx/cos^2(1-4x)

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для решения данного интеграла, можно воспользоваться заменой переменной. Пусть u = 1 - 4x. Тогда du/dx = -4 и dx = du/(-4). Таким образом, мы можем переписать исходный интеграл как:

∫ 2dx/cos^2(1-4x) = -1/2 ∫ du/cos^2(u)

Здесь мы также использовали тот факт, что cos^2(x) = 1/sin^2(x) - 1.

Теперь, мы можем вычислить новый интеграл, используя замену v = tan(u):

-1/2 ∫ du/cos^2(u) = -1/2 ∫ (1 + tan^2(u))du/(1 + tan^2(u))^2

= -1/2 ∫ dv/v^2 = 1/2v + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь, вернемся к исходной переменной x:

1/2 tan(1-4x) + C

Таким образом, окончательный ответ на интеграл будет:

∫ 2dx/cos^2(1-4x) = 1/2 tan(1-4x) + C.