Question

Найти неопределенный интеграл dx/(3sin(x)-cos(x))

Answer 1

Рассмотрите предложенный вариант; проверка не проводилась.

Answer 2

Для нахождения неопределенного интеграла ∫dx/(3sin(x)-cos(x)), можно воспользоваться методом замены переменной. Давайте проведем эту замену.

Пусть t = tan(x/2). Тогда dx = 2dt/(1+t^2), sin(x) = 2t/(1+t^2), и cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2).

Заменим переменные и перепишем интеграл:

∫dx/(3sin(x)-cos(x)) = ∫(2dt/(1+t^2))/(3(2t/(1+t^2)) - (1-t^2)/(1+t^2)) = ∫2dt/(3t + 1 - t^2) = ∫2dt/(-t^2 + 3t + 1).

Теперь нам нужно разложить знаменатель на множители. Решим квадратное уравнение -t^2 + 3t + 1 = 0:

t^2 - 3t - 1 = 0.

Применяя квадратное уравнение, получаем:

t = (3 ± sqrt(9 + 4))/2 = (3 ± sqrt(13))/2.

Итак, мы получили два корня: t1 = (3 + sqrt(13))/2 и t2 = (3 - sqrt(13))/2.

Теперь разложим знаменатель:

-t^2 + 3t + 1 = -(t - t1)(t - t2).

Теперь мы можем разложить дробь на простые дроби:

2/(-(t - t1)(t - t2)) = A/(t - t1) + B/(t - t2),

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

После выполнения расширенной операции сложения дробей мы получаем:

2 = A(t - t2) + B(t - t1).

Теперь подставим t = t1 и получим A:

2 = A(t1 - t2), A = 2/(t1 - t2).

Аналогично, подставив t = t2, мы получим B:

2 = B(t2 - t1), B = -2/(t1 - t2).

Теперь у нас есть значения A и B, и мы можем выразить наш исходный интеграл в виде:

∫dx/(3sin(x)-cos(x)) = ∫(2/(t1 - t2)) * (1/(t - t1) - 1/(t - t2)) dt.

Теперь мы можем интегрировать каждую из дробей отдельно:

∫1/(t - t1) dt = ln|t - t1| + C1, ∫1/(t - t2) dt = ln|t - t2| + C2.

Где C1 и C2 - константы интегрирования.

Таким образом, окончательное выражение для неопредел