Question

Из 100 билетов выигрышных являются 10. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 50 билетов 5 являются выигрышными.

Answer 1

Сначала зафиксируем событие:
Мы вытащили 5 выигрышных билетов и 45 проигрышных.
Вопрос: сколькими вариантами мы моли бы это сделать?

5 выигрышных билетов из 10 можно выбрать $C_{10}^{5}=\frac{10!}{(10-5)!*5!}$ способами
45 проигрышных билетов из 90 можно выбрать $C_{90}^{45}=\frac{90!}{(90-45)!*45!}$ способами
Следовательно всего вариантов:
$\frac{10!*90!}{45!*45!*5!*5!}$

Теперь посмотрим сколькими способами можно выбрать 50 билетов из 100.
Таких вариантов $C_{100}^{50}=\frac{100!}{(100-50)!*50!}$

Ну а вероятность искомого события равна количеству успешных вариантов событий по отношению в общему числу вариантов событий, т.е.
$P = \frac{C_{10}^{5}*C_{90}^{45}}{C_{100}^{50}}=\frac{10!*90!}{5!*5!*45!*45!}*\frac{50!*50!}{100!}=\\=\frac{1954824662491545600000}{7537878114663536640000}\approx0,26$

Ответ: примерно 26%

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться формулой вероятности для гипергеометрического распределения. В этой задаче нас интересует вероятность того, что из 50 взятых наудачу билетов, ровно 5 окажутся выигрышными. Если обозначить:

N - общее количество билетов (в данном случае N = 100) K - количество выигрышных билетов (в данном случае K = 10) n - количество взятых наудачу билетов (в данном случае n = 50) k - количество выигрышных билетов среди взятых наудачу (в данном случае k = 5)

Тогда вероятность того, что среди взятых наудачу 50 билетов 5 являются выигрышными, можно посчитать по формуле:

P(k) = (C(K, k) * C(N-K, n-k)) / C(N, n)

где C(a, b) - число сочетаний из a по b.

Подставляя значения, получаем:

P(5) = (C(10, 5) * C(90, 45)) / C(100, 50) = (252 * 1,235,171,600) / 100891344545564193334812497256 ≈ 0.3293

Таким образом, вероятность того, что среди взятых наудачу 50 билетов 5 окажутся выигрышными, примерно равна 0.3293 или около 33%.