Question

Решить уравнение: у''-2у=2х+3

Answer 1

решаем однородное:

y'' - 2y = 0

λ² = 2

λ₁ = -√2

λ₂ = √2

$y=C_1e^{-\sqrt{2} x}+C_2e^{\sqrt{2}x}$

решение неоднородного ищем в виде: Ax + B (первой степени, т.к. в правой части только первая степень)

y'' = 0

-2Ax - 2B = 2x + 3

A = -1

B = -1,5

y(он) = y(оо) + y(чн)

он - общее неоднородное

оо - общее однородное

чн - частное неоднородное

$y=C_1e^{-\sqrt{2} x}+C_2e^{\sqrt{2}x}+(-x-1,5) = C_1e^{-\sqrt{2} x}+C_2e^{\sqrt{2}x}-x-1,5$

Answer 2

Решаем как типичное ЛНДУ второго порядка. Находим характеристическое уравнение, общее решение, далее методом неопределенных коэффициентов находим частное решение. Складываем частное с общим и получаем решение дифференциального уравнения.
Удачи вам!

Answer 3

Чтобы решить данное линейное неоднородное уравнение второго порядка, у которого коэффициенты постоянные, мы можем использовать метод вариации постоянных.

1. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Уравнение: у'' - 2у = 0. Характеристическое уравнение: r^2 - 2 = 0. Решим характеристическое уравнение, найдя его корни: r^2 - 2 = 0 (r - √2)(r + √2) = 0 r₁ = √2, r₂ = -√2.

   Общее решение однородного уравнения имеет вид: у₀(x) = C₁ * exp(√2x) + C₂ * exp(-√2x), где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.

2. Найдем частное решение неоднородного уравнения, используя метод вариации постоянных. Предположим, что частное решение имеет вид: уп(x) = A * x + B.

   Вычислим производные: уп'(x) = A, уп''(x) = 0.

   Подставим частное решение в исходное уравнение: у'' - 2у = 2х + 3. 0 - 2(A * x + B) = 2х + 3. -2Ax - 2B = 2х + 3.

   Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений: -2A = 2, -2B = 3.

   Решив систему, находим A = -1 и B = -3/2.

   Частное решение неоднородного уравнения: уп(x) = -x - 3/2.

3. Общее решение неоднородного уравнения: у(x) = у₀(x) + уп(x). у(x) = C₁ * exp(√2x) + C₂ * exp(-√2x) - x - 3/2.

Где C₁ и C₂ - произвольные постоянные.