Question

Составьте уравнение касательной к кривой y=x^3-3x^2+9x-1 в точке с абсциссой х=1.

Answer 1

Уравнение касательной задается уравнением:

y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0)

Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.

Находим производную: y' = 3x²-6x+9/

Значение производной в точке Хо = 1:

y'(1) = 3-6+9 = 6.

Значение функции в точке Хо =1:

у = 1-3+9-1 = 6.

Тогда уравнение касательной:

у = 6(х-1)+6 = 6х - 6 + 6 = 6х.

Ответ: уравнение касательной в точке х=1 имеет вид:

          у = 6х.

Answer 2

Для составления уравнения касательной к кривой в заданной точке (1, y) необходимо найти значение производной функции y = x^3 - 3x^2 + 9x - 1 в этой точке.

Производная функции y по переменной x выражается следующим образом:

y' = 3x^2 - 6x + 9

Теперь подставим x = 1 в выражение для производной:

y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 9 = 3 - 6 + 9 = 6

Таким образом, значение производной в точке (1, y) равно 6.

Теперь, зная значение производной и координату точки (1, y), мы можем использовать формулу касательной прямой:

y - y₁ = m(x - x₁)

где (x₁, y₁) - координаты точки, m - значение производной в точке (1, y).

Подставляя значения, получим:

y - y₁ = 6(x - x₁)

Так как x₁ = 1, получим окончательное уравнение касательной:

y - y₁ = 6(x - 1)

Или в более упрощенном виде:

y - y₁ = 6x - 6