Question

При каких значениях параметра а уравнение x⁴+2x+8=a не имеет корней

Answer 1

x^2=y, тогда: y^2+2y+8-a=0, y≥0

y1,2=(-2+-√(4-4(8-a)))/2=-1+-√(a-7).

Если a<7, то действительных корней нет ни при каких a. При a=7 существует только один корень y=-1, но т.к. y должно быть положительным, этот ответ не подходит. Из этих же соображений корень с минусом не подходит.

y1≥0 ⇒ -1+√(a-7)≥0 ⇒a-7≥1 ⇒a≥8

Answer 2

Уравнение x⁴ + 2x + 8 = a не имеет корней при определенных значениях параметра a. Чтобы определить эти значения, мы можем исследовать поведение графика данной функции.

Обратите внимание, что данное уравнение является квадратным по переменной x, поэтому его график будет иметь форму параболы. Таким образом, наличие корней зависит от положения параболы относительно оси x.

Для того чтобы уравнение не имело корней, парабола должна полностью находиться выше или ниже оси x. Это означает, что уравнение не будет иметь корней, если парабола полностью лежит выше оси x или полностью лежит ниже оси x.

Определим коэффициенты при степенях x в уравнении: a₄ = 1 (коэффициент перед x⁴) a₁ = 2 (коэффициент перед x) a₀ = 8

Используя коэффициенты, мы можем анализировать параболу с помощью ее дискриминанта. Дискриминант параболы определяется как D = a₁² - 4a₄a₀.

Если D > 0, то парабола пересекает ось x и имеет два различных корня. Если D = 0, то парабола касается оси x и имеет один корень. Если D < 0, то парабола не пересекает ось x и не имеет корней.

В данном уравнении: D = (2)² - 4(1)(8) = 4 - 32 = -28

Поскольку D < 0, то парабола не пересекает ось x и уравнение x⁴ + 2x + 8 = a не имеет корней для любого значения параметра a.