Question

В первой урне 2 белых и 4 чёрных шара, во второй урне 3 белых и 1 чёрный шар. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, а затем из второй урны вынули 1 шар наугад. Найти вероятность того, что вынутый шар чёрный.

Answer 1

Расчет лучше свести в таблицу. таблица с решением - в приложении.

1. Берем два шара из первой урны.

Всего вариантов - С₆²= 6*5/(1*2) = 15.

Два черных - С₄² = 4*3/(1/2) = 6, два белых - С₂² = 1.

Вычисляем число вариантов - один белый и один черный - 15 - 6-1 = 8 вариантов.

Вычисляем вероятность какие шары взяли - Р1 = 2/5 + 1/15 + 8/15 = 1.

Добавляем "новые" шары во вторую урну и получаем три варианта событий - белых - 3,5,4 и  черных 3, 1, 2. Было 4 шара, теперь стало их уже 6. Вычисляем вероятность взять один шар из второй урны.- Р2.   Для черных получили - Р2 = 1/2 , 1/6, 1/3.

И, наконец, вероятность события и положили и взяли -  произведение вероятностей Р1 и Р2 и их сумма.

Для черных получаем ответ - 7/18  и для белых 11/18.

Answer 2

Нам нужно использовать формулу полной вероятности, которая учитывает все возможные исходы события. Обозначим через B событие, при котором вынутый шар черный.

Для начала определим вероятности того, что первый и второй шары, переложенные из первой урны во вторую, будут белыми или черными.

Вероятность того, что первый шар, который мы переложили из первой урны, будет белым равна 2/6 (два белых шара из шести). После переноса одного шара во вторую урну, в первой урне останется 1 белый и 4 черных шара. Вероятность того, что второй перенесенный шар будет черным, равна 4/5 (четыре черных шара осталось в первой урне после переноса первого шара из нее).

Теперь мы можем применить формулу полной вероятности:

P(B) = P(B|1) * P(1) + P(B|2) * P(2),

где P(B|1) - вероятность того, что шар, вынутый из второй урны, черный, если мы переложили два белых шара из первой урны во вторую, а затем вынули шар из второй урны, P(1) - вероятность переложить два белых шара из первой урны во вторую, а затем вынуть шар из второй урны, P(B|2) - вероятность того, что шар, вынутый из второй урны, черный, если мы переложили один белый и один черный шары из первой урны во вторую, а затем вынули шар из второй урны, P(2) - вероятность переложить один белый и один черный шары из первой урны во вторую, а затем вынуть шар из второй урны.

Тогда, подставляя значения, получаем:

P(B) = (0 * 2/15) + (1/2 * 8/15) = 4/15.

Ответ: вероятность того, что вынутый шар черный, равна 4/15.