Question

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями у=4-х^2, у=0

Answer 1

Дана функция у=4-х^2.

Находим точки пересечения с осью Ох (у = 0)

4-х^2 = 0

х^2 = 4

х = +-2.

$S=\int\limits^2_{-2} {(4-x^2)} \, dx = 4x-\frac{x^3}{3}|^2_{-2}=4*2-\frac{8}{3} -(4*(-2)-\frac{-8}{3})=\frac{32}{3} .$

Answer 2

Для вычисления площади криволинейной трапеции ограниченной кривыми y = 4 - x^2 и y = 0, необходимо найти точки пересечения этих кривых и вычислить определенный интеграл площади между ними.

Сначала найдем точки пересечения: 4 - x^2 = 0 x^2 = 4 x = ±2

Точки пересечения кривых находятся в x = -2 и x = 2.

Теперь, чтобы найти площадь между этими кривыми, мы будем интегрировать разность функций по оси x на интервале [-2, 2].

Площадь криволинейной трапеции будет равна:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) = 4 - x^2 и g(x) = 0.

S = ∫[-2,2] (4 - x^2) dx

Раскроем интеграл:

S = ∫[-2,2] 4 dx - ∫[-2,2] x^2 dx

Первый интеграл:

∫[-2,2] 4 dx = 4 ∫[-2,2] dx = 4 * [x]_[-2,2] = 4 * (2 - (-2)) = 4 * 4 = 16

Второй интеграл:

∫[-2,2] x^2 dx = [(1/3) * x^3]_[-2,2] = (1/3) * (2^3 - (-2)^3) = (1/3) * (8 - (-8)) = (1/3) * 16 = 16/3

Таким образом, площадь криволинейной трапеции составляет:

S = 16 - 16/3 = 48/3 - 16/3 = 32/3

Ответ: Площадь криволинейной трапеции равна 32/3 или приближенно 10.67.