Question

Доказать,что sin A+B/2=cos c/2. A,B,C-углы треугольника.

Answer 1

Надеюсь, что в левом синусе должно быть (А+В)/2
Помним, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов или П радиан:
A + B + C = П
Отсюда: A + B = П - C
Подставляем это в равенство:
sin (П - С)/2 = cos C/2
sin (П/2 - С/2) = cos C/2
Если изобразить единичную окружность, то мы увидим, что это равенство верно: косинус некоего угла a всегда равен синусу угла (П/2-a)

Answer 2

Для доказательства равенства sin(A + B/2) = cos(C/2) воспользуемся формулами половинного угла.

Формула половинного угла для синуса гласит: sin(x/2) = √((1 - cos(x))/2).

Используя эту формулу, мы можем переписать левую часть уравнения: sin(A + B/2) = √((1 - cos(A + B))/2).

Теперь посмотрим на правую часть уравнения: cos(C/2).

Чтобы упростить это выражение, воспользуемся формулой синуса половинного угла для косинуса: cos(x/2) = √((1 + cos(x))/2).

Применим эту формулу к правой части уравнения: cos(C/2) = √((1 + cos(C))/2).

Теперь нам нужно связать cos(A + B) и cos(C) в треугольнике.

В треугольнике сумма углов равна 180 градусам: A + B + C = 180.

Перепишем это уравнение: A + B = 180 - C.

Теперь мы можем заменить cos(A + B) в левой части уравнения: cos(A + B) = cos(180 - C).

Используя формулу косинуса разности: cos(A + B) = -cos(C).

Теперь мы можем заменить cos(A + B) в исходном уравнении: sin(A + B/2) = √((1 - (-cos(C)))/2) = √((1 + cos(C))/2).

Таким образом, мы видим, что левая и правая части уравнения совпадают: √((1 - cos(A + B))/2) = √((1 + cos(C))/2).

Обе стороны уравнения равны, что доказывает исходное утверждение: sin(A + B/2) = cos(C/2).