Question

Назовём натуральное число: интересным, если оно является произведением двух простых чисел (различных или совпадающих). Каково наибольшее количество последовательных натуральных чисел, все из которых-интересные?

Answer 1

 вообщем 9 там 1 2 3     3 4 7 и так далее

Answer 2

Пусть мы ищем максимальную длину последовательных интересных натуральных чисел. Заметим, что если число $n$ интересное, то его максимальный простой делитель не превосходит $\sqrt{n}$. Действительно, если бы $n = pq$, где $p$ и $q$ - простые числа, большие $\sqrt{n}$, то $pq > n$, что невозможно.

Теперь рассмотрим последовательность натуральных чисел $n, n+1, n+2, \ldots$. Пусть $n$ интересное. Тогда максимальный простой делитель чисел $n+1, n+2, \ldots, n+k$ не превосходит $\sqrt{n+k}$. Поэтому для того, чтобы все эти числа были интересными, необходимо, чтобы каждое из чисел $n+1, n+2, \ldots, n+k$ было произведением двух простых чисел, каждое из которых не превосходит $\sqrt{n+k}$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $n$ нечетное, то $n+1$ - четное и не является простым числом. Поэтому $n+1$ должно быть произведением двух простых чисел, каждое из которых не превосходит $\sqrt{n+1} \leq \sqrt{n+k}$. Аналогично, $n+3, n+5, \ldots, n+k-1$ должны быть произведениями двух простых чисел, каждое из которых не превосходит $\sqrt{n+k}$. Таким образом, каждое из чисел $n, n+1, \ldots, n+k$ является произведением двух простых чисел, каждое из которых не превосходит $\sqrt{n+k}$.

2. Если $n$ четное, то $n+2$ - четное и не является простым числом. Поэтому $n+2$ должно быть произведением двух простых чисел, каждое из которых не превосходит $\sqrt{n+2} \leq \sqrt{n+k}$. Аналогично, $n+4, n+6, \ldots, n+k$ должны быть произведениями двух простых чисел, каждое из которых не превосходит $\sqrt{n+k}$. Таким образом, каждое из чисел $n, n+1, \ldots, n+k$ является произведением двух простых чисел, каждое из которых не превосходит $\sqrt{n+k}$.

Таким образом, мы получили, что для того, чтобы все числа $n, n+1, \ldots, n+k$ были интересными, необходимо, чтобы каждое из чисел $n, n+1, \ldots,