Question

Сумма трех положительных чисел равна 20.Тогда произведение двух больших из них не может быть...?

Answer 1

Не может быть больше 90
Пример 1+9+10=10*9=90

Answer 2

Пусть три положительных числа равны a, b и c, где a ≥ b ≥ c. Тогда из условия задачи следует, что:

a + b + c = 20

Предположим, что ab является максимальным произведением двух из этих чисел. Тогда есть два случая:

1. a и b - наибольшие из трех чисел, то есть a ≥ b > c. В этом случае ab будет максимальным произведением двух чисел.

2. a не является наибольшим из трех чисел, то есть a < b. В этом случае произведение двух наибольших чисел будет bc, а не ab.

Итак, мы должны рассмотреть только первый случай. Чтобы найти максимальное произведение двух чисел a и b, мы можем использовать неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

(a + b)/2 ≥ √(ab)

(a + b)²/4 ≥ ab

a² + 2ab + b² ≥ 4ab

a² - 2ab + b² ≥ 0

(a - b)² ≥ 0

Это неравенство всегда выполняется, так как квадрат любого числа неотрицательный. Следовательно, мы можем заключить, что произведение двух наибольших чисел a и b не может быть меньше, чем ab/2.

Теперь мы можем использовать наше уравнение для a + b + c, чтобы получить:

c = 20 - a - b

Таким образом, мы можем выразить произведение двух наибольших чисел в терминах a и b:

ab - (ab/2) = ab/2

Таким образом, произведение двух наибольших чисел не может быть меньше, чем ab/2. Мы можем убедиться в этом, подставив значения a, b и c, которые удовлетворяют условию a + b + c = 20, и проверив, что ab/2 не превосходит произведения любых других пар чисел.