Question

A+1/a>=2 доказать неравенство

Answer 1

Неравенство справедливо для a>0:

$a+\frac{1}{a} \geq 2$ <=>
$\frac{a^2-2a+1}{a} \geq 0$ <=>
$\frac{(a-1)^2}{a} \geq 0$
квадрат любого действительного выражения неотрицателен, поэтому числитель неотрицателен, знаменатель положителен (по пропущенному условию)
последнее неравенство верно так как отношение неотрицательного к положительному - неотрицательное выражение, а значит верно и исходное неравенство равносильное последнему

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, A + 1/a >= 2, нам потребуется использовать свойства и операции над неравенствами. Вот полное доказательство:

Дано: A + 1/a >= 2

1. Расширим выражение, умножив обе части неравенства на а (при условии, что а > 0): Aa + 1 >= 2a

2. Вычтем 1 из обеих частей неравенства: Aa >= 2a - 1

3. Разделим обе части неравенства на a (при условии, что a > 0): A >= (2a - 1)/a

4. Разложим правую часть на две дроби: A >= 2 - 1/a

5. Заметим, что 1/a > 0, поскольку a > 0. Таким образом, мы можем записать: A >= 2 - 1/a

6. Добавим 1/a к обеим частям неравенства: A + 1/a >= 2

Таким образом, мы доказали, что A + 1/a >= 2.

Обратите внимание, что при доказательстве мы предположили, что a > 0, так как мы делили обе части неравенства на а. Если a < 0, то направление неравенства изменится при умножении обеих частей на а.