Question

Доказать , используя метод математической индукции1*3+2*4+...+n(n+2)=n(n+1)(2n+7)/6

Answer 1

1*3+2*4+...+n(n+2)=n(n+1)(2n+7)/6

1. n = 1

1*3 = 1*2*9/8 = 18/6 = 3 верно для 1

2. допустим верно для n

3. докажем для n+1

1*3+2*4+...+n(n+2) + (n+1)(n+3)=(n+1)(n+2)(2n+9)/6

1*3+2*4+...+n(n+2) + (n+1)(n+3) =n(n+1)(2n+7)/6 + (n+1)(n+3) = (n+1)*(n(2n+7)/6 + (n+3)) = (n+1) ( 2n^2 + 7n + 6n + 18)/6 =  (n+1) ( 2n^2 + 13n + 18)/6 = (n+1)(n+2)(2n + 9)/6  доказано

hраскладываем 2n^2 + 13n + 18 = (2n + 9)(n + 2)

D = 13^2 - 4*2*18 = 25

n12=(-13 +- 5)/4 = -2  -9/2

Answer 2

Для начала, проверим формулу для начального значения n=1:

1(1+2) = 1(2)(3+7)/6 3 = 3, что верно.

Затем, предположим, что формула верна для некоторого значения k>=1, т.е.:

13 + 24 + ... + k(k+2) = k(k+1)(2k+7)/6.

Теперь докажем, что формула также верна для значения k+1:

13 + 24 + ... + k(k+2) + (k+1)(k+3) = (k+1)(k+2)(2k+9)/6.

Мы добавили последний член (k+1)(k+3) к левой стороне уравнения. Затем мы можем переписать левую сторону, используя предположение индукции:

k(k+1)(2k+7)/6 + (k+1)(k+3)

= (k+1)[k(2k+7)/6 + (k+3)]

= (k+1)[(k(2k+7) + 6(k+3))/6]

= (k+1)(2k^2 + 13k + 18)/6

= (k+1)(k+2)(2k+9)/6.

Таким образом, мы получили формулу для k+1, и убедились, что она действительно верна. Это завершает доказательство методом математической индукции.