Question

Окружность разделена на 100 равных дуг и в 100 точках деления поставлено по фишке. Среди фишек 76 красных и 24 синих. Докажите, что среди красных фишек найдутся: а) две диаметрально противоположные друг другу; б) четыре, образующие квадрат.

Answer 1

*5 - прямо пропорционально пяти 
1/5 - обратно пропорционально пяти 
обратно пропорционально количеству чего-либо - значит на это количество чего-то надо поделить... 
если берешь что-то в два раза больше, значит то, что от него обратно пропорционально - будет в 2 раза меньше, и наоборот если берешь что-то в 5 раз меньше, то вещь, которая обратно пропорциональна, станет в 5 раз больше

Answer 2

Для доказательства этих утверждений воспользуемся принципом Дирихле.

а) Для доказательства существования двух диаметрально противоположных красных фишек, рассмотрим возможные пары фишек, каждая из которых является одной из крайних точек диаметра. Всего возможных пар равно 50, так как диаметр разделен на 50 равных частей. Теперь посмотрим на количество красных фишек в каждой из этих пар.

Если нет пары диаметрально противоположных красных фишек, то в каждой из этих 50 пар будет не более одной красной фишки. Так как у нас всего 76 красных фишек, это значит, что оставшиеся 24 красные фишки должны быть распределены среди этих 50 пар. Поскольку 24 меньше, чем удваиваемое количество пар (50 * 2 = 100), по принципу Дирихле, как минимум одна из пар должна содержать две красные фишки. Следовательно, существуют две диаметрально противоположные красные фишки.

б) Для доказательства существования четырех красных фишек, образующих квадрат, воспользуемся аналогичным рассуждением. Разделим окружность на 25 секторов, каждый из которых составляет 1/4 от окружности. По аналогии с предыдущим рассуждением, рассмотрим возможные комбинации четырех фишек, каждая из которых находится в одном из этих секторов.

Если нет комбинации из четырех красных фишек, образующих квадрат, то в каждом из этих 25 секторов будет не более трех красных фишек. Так как у нас всего 76 красных фишек, это значит, что оставшиеся 24 красные фишки должны быть распределены среди этих 25 секторов. Поскольку 24 меньше, чем учетверенное количество секторов (25 * 4 = 100), по принципу Дирихле, как минимум один из секторов должен содержать четыре красные фишки, образующие квадрат.

Таким образом, доказано, что среди красных фишек найдутся