Question

Сколько существует пятизначных чисел, Сумма цифр которых равна четырём?

Answer 1

4=1+3=2+2=3+1=1+1+2=1+2+1=2+1+1=1+1+1+1
Подходят числа:
13000, 10300, 10030, 10003, 22000, 20200, 20020, 20002, 31000, 30100, 30010, 30001, 11200, 11020, 11002, 10120, 10102, 10012, 12100, 12010, 12001, 10210, 10201, 10021, 21100, 21010, 21001, 20110, 20101, 20011, 11110, 11101, 11011, 10111.
Всего 34 числа.

Answer 2

Для того чтобы найти количество пятизначных чисел, сумма цифр которых равна четырём, можно воспользоваться комбинаторикой и принципом "размещения с повторениями".

Количество способов разместить четыре единицы (каждая из которых соответствует одной цифре суммы) в пяти позициях (каждая из которых соответствует одной цифре числа) с повторениями равно:

${5+4-1 \choose 4} = {8 \choose 4} = 70,$

где ${n \choose k}$ обозначает биномиальный коэффициент "n по k".

Таким образом, количество пятизначных чисел, сумма цифр которых равна четырём, равно 70.