Question

В прямоугольнике ABCD известно, что АВ = а, ВС = b, О - точка пересечения диагоналей. Найдите величину

Answer 1

Величину чего? условие невнятное

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойством, что диагонали прямоугольника делятся пополам.

Пусть точка O делит диагональ AC на две равные части. Тогда AO = CO = AC/2.

Также заметим, что треугольник ABO прямоугольный, поскольку прямая AB является основанием, а диагональ ОС является высотой. Из теоремы Пифагора следует, что:

AB^2 + BO^2 = AO^2

Подставим известные значения:

a^2 + BO^2 = (AC/2)^2

BO^2 = (AC/2)^2 - a^2

Аналогично, треугольник BCO прямоугольный, поэтому:

BC^2 + CO^2 = BO^2

Подставляем значение BO^2, полученное выше:

BC^2 + CO^2 = (AC/2)^2 - a^2

Заметим также, что треугольник ACD прямоугольный, поэтому:

AD^2 = AC^2 + CD^2

Но CD = AB = a, поэтому:

AD^2 = AC^2 + a^2

Подставляем значение AC/2 = AO:

AD^2 = 4*AO^2 + a^2

С другой стороны, треугольник BOD подобен треугольнику ABC, поэтому:

BO/AB = BC/BD

BO = AB*BC/BD = ab/BD

Подставляем значение BO в уравнение выше:

BC^2 + CO^2 = (ab/BD)^2 - a^2

Но заметим также, что треугольник BOD подобен треугольнику AOC, поэтому:

BD/AC = BO/AO

BD = BO*AC/AO = ab/(2AO)

Подставляем значение BD в уравнение выше:

BC^2 + CO^2 = (ab/BD)^2 - a^2 = (ab/(ab/(2AO)))^2 - a^2 = 4*AО^2 - a^2

Сравнивая это уравнение с уравнением для AD^2, полученным ранее, получаем:

AD^2 = BC^2 + CO^2 + 4*AO^2

AD^2 = 4*AO^2 - a^2 + BC^2 + CO^2

AD^2 = AD^2

Таким образом, мы доказали, что:

4*AO^2 - a^2 + BC^2 + CO^2 = AD^2

Из этого уравнения можно выразить искомую величину:

CO^2 = AD^2 - 4*AO^2 + a^2 - BC^2

CO = sqrt(AD^2 - 4*AO^2 + a^2 - BC^2)

Таким образом, мы наш