Question

Из точки А, расположенной вне окружности S с центром О, проведена касательная АВ, из точки В опущен перпендикуляр ВС на прямую ОА. Проходящая через точку С прямая пересекает окружность в точках M и N. Докажите, что луч АС является биссектрисой угла MAN.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доказательства, что луч АС является биссектрисой угла MAN, мы должны показать, что угол MAC равен углу NAC.

Изначально у нас есть касательная АВ, проведенная из точки А к окружности S. Поскольку АВ является касательной, угол BAO (где O - центр окружности) равен прямому углу 90 градусов.

Также у нас есть перпендикуляр ВС, опущенный из точки В на прямую ОА. Так как ВС является перпендикуляром к ОА, то угол BCA равен прямому углу 90 градусов.

Из этих двух фактов мы можем заключить, что треугольники BAO и BCA являются прямоугольными треугольниками.

Теперь давайте рассмотрим треугольник BMO и треугольник BNO, образованные прямыми, проходящими через точку С и пересекающие окружность S в точках M и N соответственно.

Поскольку BM и BN являются радиусами окружности, они равны между собой. Также у нас есть угол BMO, образованный радиусом BM и касательной АВ, и угол BNO, образованный радиусом BN и касательной АВ. Поскольку радиус окружности перпендикулярен к касательной, угол BMO и угол BNO равны между собой.

Теперь мы можем рассмотреть треугольники BMO и BNO. У них равные стороны (BM = BN) и равные углы (углы BMO и BNO), поэтому по признаку равенства треугольников они равны между собой.

Так как треугольники BMO и BNO равны, угол MBO равен углу NBO.

Рассмотрим треугольники MAC и NAC. У них равные стороны (MA = NA) и общий угол (угол BAO = углу BCO = 90 градусов), поэтому по признаку равенства треугольников они равны между собой.

Так как треугольники MAC и NAC равны, угол MAC равен углу NAC.

Из полученного равенства углов следует, что луч АС является биссектрисой угла MAN