Question

СРОЧНО! ПОМОГИТЕ! ПОЖАЛУЙСТА! Натуральные числа a,b,c и d удовлетворяют равенству ab=cd. Докажите, что число a^2+b^2+c^2+d^2 составное. а^2-это в квадрате

Answer 1

Если ab=cd то b=cd/a
a^2+b^2+c^2+d^2 = a^2 + (cd)^2/a^2 + c^2 + d^2 = a^2+d^2+c^2(a^2+d^2)/a^2 = (a^2 + d^2)(a^2+c^2)/a^2
получаем,что a^2+b^2+c^2+d^2 кратно a^2
Тонда данное выражение является составным
Осталось проверить,что при а = 1 оно также будет составное..
Тогда (1 + d^2)(1 + c^2),при этом 1 + d^2 >= 2
и 1 + c^2 >= 2...Следовательно,каждый множитель больше или равен 2 а значит при а = 1 выражение также будет составным

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, мы рассмотрим два случая:

1. Предположим, что a и c имеют общий простой делитель p, то есть p является простым числом и p делит и a, и c. Тогда разложим a и c на простые множители: a = p^k * m, c = p^l * n, где k и l - неотрицательные целые числа, m и n - целые числа, не делящиеся на p.

   Подставим эти разложения в равенство ab = cd: p^k * m * b = p^l * n * d.

   Поскольку p^k и p^l являются наименьшими степенями простого числа p, входящими в разложения a и c соответственно, мы получаем: p^k делит b, но не делит n, p^l делит d, но не делит m.

   Теперь рассмотрим выражение a^2 + b^2 + c^2 + d^2: a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (p^k * m)^2 + (p^k * n)^2 + (p^l * n)^2 + (p^l * m)^2 = p^(2k) * m^2 + p^(2k) * n^2 + p^(2l) * n^2 + p^(2l) * m^2 = p^(2k) * (m^2 + n^2) + p^(2l) * (m^2 + n^2).

   Заметим, что m^2 + n^2 является ненулевым целым числом, так как они не делятся на общий делитель p. Поскольку (m^2 + n^2) является ненулевым целым числом, и p^(2k) и p^(2l) являются наименьшими степенями простого числа p, мы получаем, что a^2 + b^2 + c^2 + d^2 делится на p, то есть является составным числом.

2. Предположим, что a и c не имеют общих простых делителей. Тогда a и c взаимно просты. Разложим числа b и d на простые множители: b = p_1^m_1 * p_2^m_2 * ... * p_k^m_k, d = p_1^n_1 * p_2^n_2 * ... * p_k^n_k, где p_1, p_2, ..., p_k - попарно различные простые числа, m_1, m_2, ..., m_k, n_1, n_2, ..., n_k - неотрицательные