Question

найти расстояние между двумя параллельными плоскостями и записать уравнение плоскости равноудаленной от этих плоскостей у-6z-13=0 и -3у+18z+8=0

Answer 1

условие  1. у-6z-13=0 и 2 . -3у+18z+8=0

умножим на -3 первое уравнение для приведения к общим знаменателям

-3(у-6z-13)=-3у+18z+39=0

Получаем

1 -3у+18z+39=0    2. -3у+18z+8=0

Используем фомулу определения расотяния между плоскостями при равных коэф.  АВС возле переменных xyz ; А=0, В=-3, С= 18,  D₂=8 D₁=39

MN= ( Ι D₂- D₁ Ι ) /√ (A²+B²+C²) = ( Ι 8-39 Ι ) /√ (0²+(-3)²+18²)=31/√333=31/18,248=1,699

Равноудалённой будет плоскость, которая находится между этими 2мя паралельными плоскостями и отличается только коэф D₃

который равен средне арифметическому от D₂=8 D₁=39 ,

D₃=(39+8)/2=47/2=23 1/2

Тогда формула плоскости будет иметь вид

-3у+18z+47/2= 0  ⇔ -3у+18z+23 1/2= 0

Answer 2

Для нахождения расстояния между двумя параллельными плоскостями можно использовать формулу:

d = |c₁ - c₂| / √(a² + b² + c²),

где (a, b, c) - нормальный вектор первой плоскости, (c₁, c₂) - коэффициенты уравнения первой и второй плоскости соответственно.

Исходя из уравнений плоскостей:

1. у - 6z - 13 = 0
2. -3у + 18z + 8 = 0

Первое уравнение имеет нормальный вектор (0, 1, -6), а второе уравнение имеет нормальный вектор (0, -3, 18).

Теперь найдем коэффициенты c₁ и c₂:

1. c₁ = -13
2. c₂ = 8

Подставим значения в формулу для расстояния:

d = |(-13) - 8| / √(0² + 1² + (-6)²) = |-21| / √37 = 21 / √37

Таким образом, расстояние между данными плоскостями равно 21 / √37.

Теперь найдем уравнение плоскости, которая равноудалена от данных плоскостей. Для этого нужно найти нормальный вектор этой плоскости.

Нормальный вектор равноудаленной плоскости будет перпендикулярен нормальным векторам данных плоскостей, поэтому можно найти его как их векторное произведение:

n = (0, 1, -6) x (0, -3, 18) = (-54, -6, -3)

Теперь, зная нормальный вектор и одну точку на плоскости (можно использовать любую точку на заданной плоскости), мы можем записать уравнение плоскости:

-54x - 6y - 3z + d = 0,

где d - неизвестная константа, которую нужно найти. Мы можем использовать известную точку на плоскости, например, (0, 6, 0):

-54(0) - 6(6) - 3(0) + d = 0, -36 + d = 0, d = 36.

Таким образом, уравнение плоскости, равноудаленной от данных плоскостей, имеет вид:

-54x - 6y - 3z + 36 = 0.