Question

Вычислить двукратный интеграл ∫0−1dx∫0x(x+4y)dy

Answer 1

$\int\limits^1_0 { (\int\limits^x_0 {(x+4y)} \, dy }) \, dx =\\ = \int\limits^1_0 { (xy+2y^2})|_0^x \, dx =\\ = \int\limits^1_0 { (x^2+2x^2})|_0^x \, dx =\\ = \int\limits^1_0 { (3x^2}) \, dx =\\ =x^3|_0^1=1$

Answer 2

Для вычисления данного двукратного интеграла сначала интегрируем по переменной y, а затем по переменной x.

∫0−1dx∫0x(x+4y)dy

Интегрируем по y:

∫0−1dx [xy + 2y²]₍₀₎ₓ

Теперь интегрируем по x:

∫0−1 [∫0x (xy + 2y²) dy] dx

∫0−1 [x(y²/2) + 2y³/3]₍₀₎ₓ

∫0−1 [(x/2)y² + (2/3)y³]₍₀₎ₓ

Теперь подставляем пределы интегрирования:

∫0−1 [(x/2)y² + (2/3)y³]₍₀₎ₓ = [(x/2)y² + (2/3)y³]₍₀₎₁

Подставляем верхний предел интегрирования:

[(1/2)y² + (2/3)y³]₍₀₎₁ = (1/2)(1)² + (2/3)(1)³ - (1/2)(0)² - (2/3)(0)³

= 1/2 + 2/3 - 0 - 0

= 1/2 + 2/3

= 3/6 + 4/6

= 7/6

Таким образом, двукратный интеграл ∫0−1dx∫0x(x+4y)dy равен 7/6.