Question

В наборе были гирьки массой 5, 24 и 43 грамма, поровну каждого вида. Все имеющиеся гирьки взвесили, и их масса оказалась равной 606060…60 граммам. Докажите, что более 10 гирек потеряно.

Answer 1

Предположим, что потеряно не более 10 гирек. Тогда при возвращении на место этого количества получится вес, кратный 5+24+43=72. Числа вида 6060...60 при делении на 72 могут давать в остатке 60, 12 или 36, что проверяется непосредственно. Тут будет период 3, так как числа 60606060 и 60 сравнимы по модулю 72 -- их разность делится и на 8, и на 9.

Таким образом, добавленный вес должен иметь вид 12+72k, 36+72k или 60+72k. Остаток от деления на 24 здесь везде равен 12. Осталось показать, что при помощи 10 или менее гирек из набора такой вес не набирается. Чтобы не перебирать много вариантов, заменим числа 5, 24, 43 на 5, 0, -5 по модулю 12. Если x, y, z -- число потерянных гирек каждого из видов, то 5(x-z) кратно 12, а потому и x-z. Значит, x=z, так как x+y+z<=10. Теперь рассмотрим всё по модулю 24, заменяя наши числа на те же: 5, 0, -5. Ввиду x=z, окажется, что суммарный потерянный вес делится на 24. Это приводит к противоречию.

Заметим, что 11 гирек также не могло быть потеряно, а пример с 12 потерянными легко строится (было по 85 гирек каждого веса, а потом 12 гирек весом 5 г потеряли)

Answer 2

Предположим, что количество гирек каждого вида в наборе составляет n штук. Тогда общее количество гирек в наборе будет 3n.

Масса каждой гирьки равна 5, 24 или 43 грамма, и все гирьки взвесили в сумме 606060...60 граммов.

Заметим, что масса каждой гирьки кратна 1 грамму, поскольку вес указан в граммах. Поэтому общая масса всех гирек в наборе также будет кратна 1 грамму.

606060...60 граммов также является кратным 3, поскольку все гирьки имеют массу, которая кратна 3.

Теперь рассмотрим сумму масс каждого вида гирек в наборе:

• Сумма масс гирек весом 5 граммов будет равна 5n.
• Сумма масс гирек весом 24 грамма будет равна 24n.
• Сумма масс гирек весом 43 грамма будет равна 43n.

Общая масса всех гирек в наборе равна сумме этих трех сумм:

5n + 24n + 43n = 72n

Таким образом, общая масса всех гирек в наборе является кратной 72 граммам.

Итак, общая масса всех гирек в наборе кратна и 1 грамму, и 72 грамма. Однако 1 и 72 не имеют общих делителей, кроме 1.

Поскольку общая масса всех гирек в наборе кратна как 1 грамму, так и 72 грамма, это означает, что общая масса всех гирек в наборе также будет кратна их наименьшему общему делителю (НОД) - в данном случае, 1.

Но вопрос говорит нам, что общая масса всех гирек в наборе равна 606060...60 граммов, что кратно 10 граммам. Значит, общая масса всех гирек должна быть также кратна 10 граммам.

Это возможно только тогда, когда более 10 гирек потеряно. Если бы потерялось менее 10 гирек, общая масса всех гирек в наборе не была бы кратной 10 граммам.

Таким образом, доказано, что более 10 гирек было потеряно.