Question

Решить уравнение: 2 корня из 3*sinx*tgx+3tgx=2sinx+корень из 3

Answer 1

$2\sqrt{3}\sin x\cdot tg\ x+3tg x=2\sin x+\sqrt{3}\\ \sqrt{3}tg\ x(2\sin x+\sqrt{3})-(2\sin x+\sqrt{3})=0\\ (2\sin x+\sqrt{3})(\sqrt{3}tg\ x-1)=0$

О.Д.З.:  cos x ≠ 0

$2\sin x+\sqrt{3}=0$          или          $\sqrt{3}tg\ x-1=0$

$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$                                 $tg\ x=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi }{3}+\pi k,\ k\in Z$       $x=\frac{\pi }{6}+\pi n,\ n\in Z$

Ответ: $(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi }{3}+\pi k;\ \frac{\pi }{6}+\pi n;\ k,n\in Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте приведем его к более удобному виду.

Начнем с выражения √3*sin(x)*tan(x). Заметим, что √3 = √(4/3) = 2/√3. Заменим √3 на 2/√3 и получим: (2/√3)*sin(x)*tan(x).

Теперь уравнение примет вид: (2/√3)sin(x)tan(x) + 3tan(x) = 2sin(x) + √3.

Умножим обе части уравнения на √3, чтобы избавиться от знаменателя: 2sin(x)tan(x) + 3√3tan(x) = 2√3sin(x) + 3.

Теперь приведем все слагаемые к одной стороне уравнения: 2sin(x)tan(x) - 2√3sin(x) + 3√3tan(x) - 3 = 0.

Теперь приведем подобные слагаемые: 2sin(x)tan(x) - 2√3sin(x) + 3√3tan(x) - 3 = 0.

Вынесем общий множитель из первых двух слагаемых: sin(x)(2tan(x) - 2√3) + 3√3*tan(x) - 3 = 0.

Применим формулу тангенса (tan(x) = sin(x)/cos(x)): sin(x)(2sin(x)/cos(x) - 2√3) + 3√3*sin(x)/cos(x) - 3 = 0.

Теперь приведем дроби к общему знаменателю: sin(x)(2sin(x)cos(x) - 2√3cos(x)) + 3√3sin(x) - 3cos(x) = 0.

Факторизуем выражение в скобках: sin(x)(2sin(x)cos(x) - 2√3cos(x)) + 3√3sin(x) - 3cos(x) = 0. sin(x)(2cos(x)(sin(x) - √3)) + 3√3sin(x) - 3cos(x) = 0.

Разделим обе части уравнения на sin(x): 2cos(x)(sin(x) - √3) + 3√3 - 3cos(x)/sin(x) = 0.

Используем тригонометрическую тождественность cos(x)/sin(x) = cot(x): 2cos(x)(sin(x) - √3) + 3√3 - 3cot(x) = 0.

Теперь уравнение сводится к нелинейному уравнению, которое можно решить графически или численными методами, например, методом итераций