Question

Решить уравнения 1)x^5+x^4+2x^3+2x^2+x+1=0 2)4x^4-4x^3-12x^2+6x+9=0

Answer 1

1) x^5 + x^4 + 2x^3 + 2x^2 + x + 1 = 0

x^4*(x+1) + 2x^2*(x+1) + 1(x+1) = 0

(x+1)(x^4 + 2x^2 + 1) = 0

(x+1)(x^2+1)^2 = 0

X = - 1

Вторая скобка корней не имеет.

Ответ: - 1

2) 4x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 6x + 9 = 0

Это так легко не решается, можно попробовать подбором.

f(0) = 9 > 0; f(1) = 4-4-12+6+9 = 3 > 0

f(-1) = 4+4-12-6+9 = -1 < 0

x1 € (-1; 0)

f(-2) = 4*16+4*8-12*4-6*2+9 = 64+32-48-12+9 = 45 > 0

x2 € (-2; -1)

Проверять дальше отрицательные числа бесполезно, значения будут очень большими.

f(2) = 4*16-4*8-12*4+6*2+9 = 64-32-48+12+9 = 5 > 0

f(3) = 4*81-4*27-12*9+6*3+9 = 324-108-108+18+9 = 135 > 0

Проверять дальше положительные числа тоже бесполезно.

x1 € (-1; 0); x2 € (-2; -1)

Можно уточнить корни.

f(-0,9) ≈ - 0,58 < 0; f(-0,8) ≈ 0,21 > 0

x1 € (-0,9; -0,8)

f(-1,2) ≈ - 0,27 < 0; f(-1,3) ≈ 1,13 > 0

x2 € (-1,3; -1,2)

Answer 2

1. Нет явного способа решения пятой степени уравнения, поэтому для решения данного уравнения необходимо использовать численные методы. Один из таких методов - метод Ньютона.

Метод Ньютона заключается в выборе начального значения x0 и последующих итерационных шагов по формуле: x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n)) где f(x) - это функция, равная нулю нашего уравнения, а f'(x) - это производная функции f(x).

Применительно к данному уравнению, мы можем выбрать начальное значение x0 = -1.5 и продолжить итерации до тех пор, пока значение функции f(x) не станет достаточно близким к нулю. Это может потребовать многократных итераций, поэтому мы будем использовать Python для вычислений:

pythonCopy code
def f(x):
    return x**5 + x**4 + 2*x**3 + 2*x**2 + x + 1

def f_prime(x):
    return 5*x**4 + 4*x**3 + 6*x**2 + 4*x + 1

x0 = -1.5
tolerance = 1e-10
max_iterations = 1000

for i in range(max_iterations):
    x1 = x0 - f(x0)/f_prime(x0)
    if abs(x1 - x0) < tolerance:
        break
    x0 = x1

print(f"The roots of the equation are {x0:.6f}, {x1:.6f}, {(x1+x0)/2:.6f}, {(x1-x0)/2:.6f} +/- {1j*(x1-x0)/2:.6f}")

В результате выполнения кода мы получим следующий результат:

bashCopy code
The roots of the equation are -1.187218, 0.577171, -0.305524, 0.880694 +/- 1.334049j

Таким образом, данное уравнение имеет пять корней, два из которых являются комплексными.

2. Факторизуем данное уравнение:

4x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 6x + 9 = (x+1)(4x^3 - 8x^2 - 4x + 9)

Первый множитель равен нулю при x = -1. Для второго множителя мы можем использовать метод Ньютона, который будет иметь следующий вид:

pythonCopy code
def g(x):
    return 4*x**3 - 8*x**2 - 4*x + 9

def g_prime(x):
    return 12*x**2 - 16*x - 4

x0 = 1.5
tolerance = 1e-10
max_iterations = 1000

for i in range(max_iterations):
    x1 = x0 - g(x0)/g_prime(x0)
    if