Question

Решить уравнение в поле комплексных чисел x^4+1=0 Не могу понять, что делать после x^2=+-i.

Answer 1

Имеем х⁴=-1,нужно применить формулу ⁿ√z=ⁿ√|z|*(cos(φ+2πκ)/n+i*sin(φ+2πκ)/n), где k=0,1,2,3.
|z|=1, n=4, φ=π
Последовательно подставляя вместо к=0, 1, 2, 3 , находим все 4 корня.

Answer 2

Для решения уравнения x^4 + 1 = 0 в поле комплексных чисел, давайте разобьем его на два уравнения.

Исходное уравнение: x^4 + 1 = 0

Мы можем представить его как: (x^2)^2 + 1 = 0

Подставим x^2 = z: z^2 + 1 = 0

Теперь решим это уравнение в переменной z: z^2 = -1

Это уравнение имеет два решения: z = i и z = -i

Теперь вернемся к x: x^2 = z

Рассмотрим каждое решение z по отдельности.

1. Для z = i: x^2 = i

Мы можем взять квадратный корень от обеих сторон: x = ±√i

Комплексное число √i имеет два значения: √i = ±(1/√2)(1 + i)

Таким образом, для z = i получаем два решения: x1 = (1/√2)(1 + i) x2 = -(1/√2)(1 + i)

2. Для z = -i: x^2 = -i

Мы можем взять квадратный корень от обеих сторон: x = ±√(-i)

Комплексное число √(-i) также имеет два значения: √(-i) = ±(1/√2)(1 - i)

Таким образом, для z = -i получаем два решения: x3 = (1/√2)(1 - i) x4 = -(1/√2)(1 - i)

Итак, у уравнения x^4 + 1 = 0 есть четыре комплексных решения: x1 = (1/√2)(1 + i) x2 = -(1/√2)(1 + i) x3 = (1/√2)(1 - i) x4 = -(1/√2)(1 - i)

Надеюсь, это поможет вам разобраться с решением уравнения! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.