Question

Исследуйте функцию f(x)= cos2x-2cosx на возрастание и убывание на промежутке [-пи/3;пи]

Answer 1

Ответ:

решение представлено на фото

Answer 2

Чтобы исследовать функцию f(x) = cos(2x) - 2cos(x) на возрастание и убывание на интервале [-π/3; π], нам понадобятся производные функции f'(x) и f''(x), а также исследование точек экстремума и интервалов монотонности.

1. Вычислим производные функции: f'(x) = d/dx (cos(2x) - 2cos(x)) = -2sin(2x) + 2sin(x)

f''(x) = d/dx (-2sin(2x) + 2sin(x)) = -4cos(2x) + 2cos(x)

2. Найдем точки экстремума, приравнивая производную f'(x) к нулю и решая уравнение: -2sin(2x) + 2sin(x) = 0

Мы можем разложить уравнение на две составляющие: -2sin(2x) = -2sin(x)

Теперь решим первую составляющую: sin(2x) = sin(x)

Разберем два случая: а) sin(2x) = 0 и sin(x) ≠ 0: Решение: 2x = kπ, где k - целое число и x ≠ kπ/2.

б) sin(2x) ≠ 0 и sin(x) = 0: Решение: x = kπ, где k - целое число и x ≠ kπ.

Объединяя решения из обоих случаев, получим точки экстремума: x = kπ и x = kπ/2, где k - целое число.

3. Определим интервалы монотонности функции, используя вторую производную f''(x) и точки экстремума.

a) Рассмотрим интервал [-π/3; π]. Проверим значение f''(x) на этом интервале. Для x ∈ [-π/3; π]: f''(x) = -4cos(2x) + 2cos(x) ≥ -4cos(2π) + 2cos(π) = -4 + 2 = -2

Значение f''(x) на интервале [-π/3; π] отрицательно, следовательно, функция f(x) убывает на данном интервале.

b) Также мы должны исследовать точки экстремума, чтобы определить монотонность между ними.

• При x = kπ, где k - целое число, точки экстремума, их окрестности можно считать открытыми интервалами.
• При x = kπ/2, где k - целое число, точки экстремума, их окрестности можно считать закрытыми интервалами.

Таким образ