Question

Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-1;2) В(1;3) С(4;0). Не находя координатов вершины D, найти: уравнение стороны АD; уравнение высоты ВК, опущенной из вершины В на сторону АD; длину высоты ВК; уравнение диагонали ВD; тангенс угла между диагоналями параллелограмма; косинус угла В параллелограмма.

Answer 1

Выведем уравнение для стороны BC:

3=k+b
0=4k+b

3=-3k
b=3-k

k=-1
b=4

y=-x+4 - уравнение стороны BC

Выведем уравнение для стороны AD:
сторона AD параллельна стороне BC, т.е. имеет тот же угол наклона:
y=-x+b
по координатам точки A определим b:
2=1+b
b=1

y=-x+1 - уравнение стороны AD

Выведем уравнение для высоты BK:
сторона AD имеет угол наклона arctg(-1)=135 градусов
высота BK имеет угол наклона 135-90=45 градусов:
y=x*tg45+b
у=х+b
по координатам точки В определим b:
3=1+b
b=2

y=x+2 - уравнение высоты BK

определим координаты точки пересечения AD и BK (точки K):
-x+1=x+2
2x=-1
x=-1/2=-0,5
y=-0,5+2=1,5
вычислим длину высоты BK (примечание: sqrt - квадратный корень):
BK=sqrt((3-1,5)^2+(1+0,5)^2)= sqrt(1,5^2+1,5^2)=sqrt(2,25+2,25)=sqrt(4,5)

Выведем уравнение для стороны AB:

2=-k+b
3=k+b

2b=5
k=3-b

b=5/2
k=1/2

b=2,5
k=0,5

y=0,5x+2,5 - уравнение стороны AB

вычислим угол ABK:
BK имеет угол наклона 45 градусов
AB имеет угол наклона arctg(0,5)
tg(ABK)=tg(45-arctg(0,5))=(tg45+tgarctg(0,5))/(1-tg45*tgarctg(0,5))=(1+0,5)/(1-0,5)=3
угол ABK составляет arctg3 градусов

Выведем уравнение для диагонали BD:
диагональ BD имеет угол наклона (90+arctg3) градусов:
y=x*tg(90+arctg3)+b
по координатам точки B определим b:
3=tg(90+arctg3)+b
b=3-tg(90+arctg3)

y=x*tg(90+arctg3)+3-tg(90+arctg3)
y=3+(x-1)tg(90+arctg3) - уравнение диагонали BD

Выведем уравнение для диагонали AC:

2=-k+b
0=4k+b

5k=-2
b=2+k

k=-2/5
b=8/5

k=-0,4
b=1,6

y=-0,4x+1,6 - уравнение диагонали АС
угол наклона диагонали АС составляет arctg(-0,4)=-arctg(0,4) градусов

угол между диагоналями BD и AC: 90+arctg3+arctg(0,4)
тангенс найденного угла: tg(90+arctg3+arctg(0,4))

косинус угла B параллелограмма: cos(90+arctg3)=cos90*cosarctg3-sin90*sinarctg3=0-sinarctg3=-sinarctg3

Answer 2

Для нахождения искомых значений в параллелограмме АВС, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Найдите координаты вершины D. Поскольку АВС - параллелограмм, вектор AD будет равен вектору BC. Таким образом, координаты вершины D можно найти, сложив координаты вершины C с разностью координат вершин B и A: D(x, y) = C(xc, yc) + (B(xb, yb) - A(xa, ya)) = C(xc, yc) + (1-(-1), 3-2) = C(xc, yc) + (2, 1)

2. Найдите уравнение стороны АD. Уравнение прямой можно найти, используя точку и направляющий вектор. Используя координаты точки A и вектор AD, получаем: AD: (x - xa) / (xd - xa) = (y - ya) / (yd - ya)

   Заменяем значения координат: (x - (-1)) / (xd - (-1)) = (y - 2) / (yd - 2)

   Упрощаем: (x + 1) / (xd + 1) = (y - 2) / (yd - 2)

3. Найдите уравнение высоты ВК, опущенной из вершины В на сторону АD. Так как ВК - высота, она перпендикулярна стороне АD. Уравнение прямой, проходящей через точку В и перпендикулярной АD, имеет вид: VK: (x - xb) / (xd - xa) = (y - yb) / (yd - ya)

   Подставляем значения координат: (x - 1) / (xd - (-1)) = (y - 3) / (yd - 2)

   Упрощаем: (x - 1) / (xd + 1) = (y - 3) / (yd - 2)

4. Найдите длину высоты ВК. Высота ВК будет равна расстоянию между вершиной В и пересечением прямых АD и ВК. Подставляем уравнения АD и ВК в систему уравнений и решаем ее для нахождения координат пересечения. После этого можно использовать формулу расстояния между двумя точками для нахождения длины высоты.

5. Найдите уравнение диагонали ВD. Диагональ ВD будет представлена уравнением прямой, проходящей через точки В и D. Уравнение пр