Question

((a̅ ∪ b) ∩ (b ∪ c)) ∪ ((a ∪ c̅) ∩ (a̅ ∪ b̅) ∩ (b̅ ∪ c )) = u - доказать справедливость соотношений

Answer 1

Зуб даю,вот тебе и доказательство

Answer 2

Для доказательства данного соотношения, необходимо показать, что каждый элемент из левой части принадлежит множеству u (универсальному множеству), а также принадлежит правой части, и наоборот, каждый элемент из правой части принадлежит множеству u и принадлежит левой части.

Давайте рассмотрим каждую часть по отдельности.

Пусть x - произвольный элемент левой части:

x ∈ ((a̅ ∪ b) ∩ (b ∪ c)) ∪ ((a ∪ c̅) ∩ (a̅ ∪ b̅) ∩ (b̅ ∪ c ))

x принадлежит одному из двух подмножеств левой части:

1. x ∈ (a̅ ∪ b) ∩ (b ∪ c)
2. x ∈ (a ∪ c̅) ∩ (a̅ ∪ b̅) ∩ (b̅ ∪ c)

Для случая 1, x принадлежит и a̅ ∪ b и b ∪ c, следовательно x принадлежит хотя бы одному из двух множеств:

x ∈ a̅ ∪ b ∪ b ∪ c = a̅ ∪ b ∪ c

Для случая 2, x принадлежит a ∪ c̅ и a̅ ∪ b̅ и b̅ ∪ c, что означает, что x принадлежит всем трём множествам:

x ∈ a ∪ c̅, a̅ ∪ b̅ и b̅ ∪ c

Таким образом,

x ∈ (a ∪ c̅) ∩ (a̅ ∪ b̅) ∩ (b̅ ∪ c) ⊆ a ∪ b̅ ∪ c ∩ a̅ ∪ b̅ ∪ b̅ ∪ c = a ∪ b̅ ∪ c̅

Таким образом, для левой части:

x ∈ ((a̅ ∪ b) ∩ (b ∪ c)) ∪ ((a ∪ c̅) ∩ (a̅ ∪ b̅) ∩ (b̅ ∪ c )) ⊆ a ∪ b̅ ∪ c̅ ∪ a̅ ∪ b ∪ c

С другой стороны, пусть x - произвольный элемент правой части:

x ∈ u - (a ∩ b̅ ∩ c̅) ∪ (a̅ ∩ b ∩ c̅) ∪ (a̅ ∩ b̅ ∩ c)

Следовательно, x не принадлежит ни одному из трёх множеств в скобках. Значит, либо x не принадлежит a и b̅ и c̅, либо не принадлежит a