Question

Дан правильный 9-угольник. Сколькими способами в нём можно провести 3 диагонали, так, чтобы каждые две из них пересекались (внутри 9-угольника)?

Answer 1

Тремя способами можно

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы можем рассмотреть несколько случаев.

Способ 1: Провести все 3 диагонали из одной вершины. Выберем любую вершину в 9-угольнике. Мы можем провести диагональ в любую из 6 оставшихся вершин, затем в следующую вершину из оставшихся 4, и наконец в последнюю оставшуюся вершину. Таким образом, число способов провести 3 диагонали из одной вершины равно 6 * 4 * 2 = 48.

Способ 2: Провести две диагонали из одной вершины и третью из другой вершины. Выберем одну вершину, из которой мы проведем две диагонали. Это можно сделать 9 раз, так как у нас есть 9 вершин. Затем выберем вторую вершину для третьей диагонали, она не должна быть соседней с первой вершиной. Это можно сделать 4 раза, так как у каждой вершины 4 непосредственных соседа. Итак, число способов провести 2 диагонали из одной вершины и третью из другой вершины равно 9 * 4 = 36.

Способ 3: Провести три диагонали из трех разных вершин. Выберем первую вершину, из которой мы проведем первую диагональ. Это можно сделать 9 раз. Затем выберем вторую вершину для второй диагонали, она не должна быть соседней с первой вершиной и должна быть отличной от вершин, через которые уже проведены диагонали. Это можно сделать 4 раза. Наконец, выберем третью вершину для третьей диагонали, она не должна быть соседней с первыми двумя вершинами и должна быть отличной от вершин, через которые уже проведены диагонали. Это можно сделать 2 раза. Итак, число способов провести 3 диагонали из трех разных вершин равно 9 * 4 * 2 = 72.

Общее число способов провести 3 диагонали, так чтобы каждые две из них пересекались внутри 9-угольника, равно сумме всех трех способов: 48 + 36 + 72 = 156.