Question

Найдите наибольшее натуральное число n, равное сумме двух различных натуральных делителей числа n+12.

Answer 1

                                         Решение:

✓ Сумма двух различных натуральных делителей числа $n+12$, отличных от самого числа, не превосходит $(n+12)/2 + (n+12)/3$.

Почему?

• Оба делителя должны быть отличны от самого числа, потому что складывая $n+12$ с еще каким-нибудь делителем, мы получим число, которое гарантированно больше $n$. А нам нужно ровно $n$, ни больше, ни меньше.
• Оба делителя также по условию должны быть различны. Поэтому нам нужна сумма двух самых больших делителей, отличных от самого числа. Очевидно, что это будут максимум $n/2$ и $n/3$ (если $n$ не кратно $2$ или $3$, то это не должно нас смущать: мы просто оцениваем максимальную сумму, беря в расчет уникальные числа, имеющие по много делителей).

Возвращаясь к сумме двух дробей заметим, что невредно будет привести их к общему знаменателю:

       $\displaystyle \frac{n + 12}{2} + \frac{n+12}{3} = \frac{5 (n + 12)}{6}$

✓ Чтобы условие рассматриваемой задачи выполнялось необходимо, чтобы максимальная сумма была больше (или равна) получаемого значения - $n$:

       $\displaystyle \frac{5(n+12)}{6} \geq n \\\\5n + 60 \geq 6n \\\\n \leq 60$

✓ Осталось только заметить, что полученной оценки вполне достаточно.

Пример для $n = 60$ существует: это сумма двух делителей ($24$ и $36$) числа $60+12=72$. $60 = 24 + 36$.

Задача решена!

                                        Ответ: 60

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу пошагово.

Пусть n - наибольшее натуральное число, равное сумме двух различных натуральных делителей числа n + 12.

Таким образом, у нас есть два натуральных делителя числа n + 12, которые мы обозначим как d1 и d2. У нас есть следующее равенство:

n = d1 + d2.

Нам нужно найти наибольшее такое n, удовлетворяющее условиям задачи.

Поскольку мы ищем наибольшее n, то наибольший делитель n + 12 будет максимально возможным. Наибольший делитель числа - само число, поэтому n + 12 должно быть делителем числа n.

Исходя из этого, мы можем записать:

n ≡ 0 (mod n + 12).

То есть, n делится на (n + 12) без остатка.

Теперь мы можем представить n как произведение двух чисел: n = k * (n + 12), где k - некоторое натуральное число.

Раскрывая скобки, получаем:

n = k * n + 12k.

Переносим члены с n на одну сторону и факторизуем:

n - k * n = 12k, (1 - k) * n = 12k.

Теперь мы видим, что (1 - k) является делителем 12k.

Так как нам нужно найти наибольшее n, то (1 - k) должно быть наибольшим делителем 12k.

Наибольший делитель 12k будет равен 12k, поскольку 12 является делителем 12k, и нам нужно, чтобы делитель был максимальным.

Таким образом, (1 - k) = 12, что дает нам:

k = -11.

Однако по условию k - натуральное число, поэтому полученное значение не подходит.

Следовательно, наибольшего такого числа n не существует.