Question

Написали подряд три раза двузначное число (например 595959). Докажите, что полученное число делится на 3, 7, 13 и 37

Answer 1

N - двузначное число
m - полученное число
m = n*10000 + n*100 + n = n*(10000+100+1) = 10101*n

делится на 3: 10101*n/3  = 3367n - делится

делится на 7: 10101n/7 = 1443n - делится

делится на 13: 10101n/13 = 777n - делится

делится на 37: 10101n/37 = 273n - делится

Answer 2

Чтобы доказать, что полученное число делится на 3, 7, 13 и 37, мы можем воспользоваться свойствами делимости этих чисел.

Обозначим полученное число как N = ABABAB, где A и B - двузначные числа.

Делимость на 3: Чтобы число было делимым на 3, сумма его цифр также должна быть делимой на 3. В нашем случае, сумма цифр числа N равна (A + B) + (A + B) + (A + B) = 3(A + B), что делится на 3. Следовательно, N делится на 3.

Делимость на 7: Мы можем использовать метод деления с остатком, чтобы проверить делимость на 7. Представим число N в виде N = 100A + B, где A и B - двузначные числа. Затем мы можем записать N в виде N = 99A + A + B. Теперь мы можем проверить, делится ли (99A + A + B) на 7. Если (99A + A + B) делится на 7, то и N также будет делиться на 7. Подставим N = ABABAB: (99A + A + B) = (99 * (10A + B) + (10A + B)). Мы видим, что (99 * (10A + B) + (10A + B)) = 999 * (10A + B), что делится на 7, поскольку 999 делится на 7. Следовательно, N делится на 7.

Делимость на 13: Мы можем использовать аналогичный метод деления с остатком, чтобы проверить делимость на 13. Представим число N в виде N = 100A + B, где A и B - двузначные числа. Затем мы можем записать N в виде N = 99A + A + B. Теперь мы можем проверить, делится ли (99A + A + B) на 13. Если (99A + A + B) делится на 13, то и N также будет делиться на 13. Подставим N = ABABAB: (99A + A + B) = (99 * (10A + B) + (10A + B)). Мы видим, что (99 * (10A + B) + (10A + B)) = 999 * (10A + B), что делится на 13, поскольку 999 делится на 13. Следовательно, N делится на 13.

Делимость на 37: Мы можем использовать аналогичный метод деления с остатком, чтобы проверить делимость на 37. Представим число N в виде N = 100A + B, где A и B - двузначные числа. Затем мы можем записать N в виде N = 99A + A + B