Question

Диф рівняння першого порядку x^2*y'-y=1

Answer 1

$y'=\dfrac{y+1}{x^2}$ - дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительно производной, уравнение с разделяющимися переменными

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y+1}{x^2}~~\displaystyle \Rightarrow~~ \int\dfrac{dy}{y+1}=\int \dfrac{dx}{x^2}~~\Rightarrow~~ \ln|y+1|=-\dfrac{1}{x}+C$

Получили общий интеграл, что собственно говоря, является ответом дифференциального уравнения

Answer 2

Це диференціальне рівняння першого порядку. Щоб розв'язати його, використаємо метод змінних:

1. Перепишемо рівняння у вигляді, придатному для застосування методу змінних: x^2 * y' - y = 1

2. Знайдемо похідну y' та поділимо обидві частини рівняння на x^2: y' = (1 + y) / x^2

3. Перенесемо всі члени, що містять y, на одну сторону рівняння: y' - (1 + y) / x^2 = 0

4. Введемо нову змінну з = 1 + y. Тоді y' = dz/dx: dz/dx - z / x^2 = 0

5. Перенесемо z / x^2 на іншу сторону рівняння: dz/dx = z / x^2

6. Розділимо обидві частини рівняння на z: dz / z = dx / x^2

7. Проінтегруємо обидві частини: ∫(dz / z) = ∫(dx / x^2)

   ln|z| = -1 / x + C, де C - константа інтегрування.

8. Використаємо експоненту для виразу логарифма: |z| = e^(-1 / x + C)

9. Розглянемо два випадки для значення константи C:

   a) Якщо C = 0, тоді |z| = e^(-1 / x).

   b) Якщо C ≠ 0, тоді |z| = Ce^(-1 / x).

10. Врахуємо абсолютну величину: z = ±e^(-1 / x) або z = ±Ce^(-1 / x)

11. Повернемося до початкової змінної y: 1 + y = ±e^(-1 / x) або 1 + y = ±Ce^(-1 / x)

y = ±e^(-1 / x) - 1 або y = ±Ce^(-1 / x) - 1

Отже, отримали загальний розв'язок диференціального рівняння: y = ±e^(-1 / x) - 1 або y = ±Ce^(-1 / x) - 1, де С - будь-яка константа.