Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями y=x^2-4x+2 , y = x+6 (Заранее спасибо =)

Answer 1

Дано: F(x)= x² -4*x+2,  y(x)= x+6

Найти: S=? - площадь фигуры

Пошаговое объяснение:

1) Находим точки пересечения графиков.

-x²+5*x+4=0 - квадратное уравнение

a = 5,7- верхний предел, b = -0,7- нижний предел.

2) Площадь - интеграл разности функций.

f(x) = 4+5*x -*x² - подинтегральная функция

3) Интегрируем функцию и получаем:

F(x) = 4*x+5/2*x² -1/3*x³

4) Вычисляем на границах интегрирования.

S(а) = (5,7) = 22,81+81,27+-61,78 = 42,3

S(b) = S(-0,7) =-2,81+1,23+0,12 = -1,46

 S = S(-0,7)- S(5,7)  = 43,76 - площадь

Рисунок к задаче в приложении.

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность между ними.

Для начала найдем точки пересечения двух функций, приравняв их: x^2 - 4x + 2 = x + 6

Перенесем все члены в одну сторону и приведем квадратное уравнение к стандартному виду: x^2 - 5x - 4 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта или факторизации. Решая уравнение, получим два значения x: x = -1 и x = 5

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, интегрируем разность этих двух функций на интервале от x = -1 до x = 5:

Площадь = ∫(y2 - y1)dx (от -1 до 5)

y2 = x + 6 y1 = x^2 - 4x + 2

∫((x + 6) - (x^2 - 4x + 2))dx (от -1 до 5)

Упрощая это выражение, получим:

∫(-x^2 + 8x + 4)dx (от -1 до 5)

Теперь выполним интегрирование:

(-1/3)x^3 + 4x^2 + 4x] (от -1 до 5)

Подставим пределы интегрирования:

((-1/3)(5)^3 + 4(5)^2 + 4(5)) - ((-1/3)(-1)^3 + 4(-1)^2 + 4(-1))

((-1/3)(125) + 100 + 20) - ((-1/3)(-1) + 4(1) - 4)

(-125/3 + 100 + 20) - (1/3 - 4 - 4)

(-125/3 + 120) - (1/3 - 8)

(-125/3 + 120) - (-1/3 - 24/3)

(-125/3 + 120) - (-25/3)

(-125/3 + 120) + (25/3)

-5/3 + 120 + 25/3

115/3 + 25/3

140/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 4x + 2 и y = x + 6, равна 140/3 или приблизительно 46.67.