Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+5, y=x+3​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

найдем точки пересечения графиков

приравняем правые части формул

-х²+5=х+3

х²+х-2=0; d=1+4*2=9; x₁,₂=(-1±√9)/2=(-1±3)/2; x₁=-2; x₂=1

Площадь криволинейной трапеции ABECD по формуле Ньютона-Лейбница

                1                                    1

SABECD=∫(-x^2+5)dx=(-(x³/3)+5x)) =-1/3+5-(-(-2)³/3+5(-2))=-1/3+5-8/3+10=

              -2                                  -2

=15-9/3=15-3=12

рассмотрим трапецию ABCD

точки B,C ∈ прямой   y=x+3 ⇒

AB=y(-2)=-2+3=1 ; СD=y(1)=1+3=4; AD=x₂-x₁ =1-(-2)=3

площадь трапеции ABCD

SABCD=(a+b)h/2=(AB+CD)AD/2=(1+4)3/2=5*3/2=7,5

площадь фигуры ограниченной линиями y=-х²+5 и y=х+3

SBEC=SABECD-SABCD=12-7,5=4.5 кв. ед.

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, нужно найти точки их пересечения и вычислить определенный интеграл площади между ними.

Сначала найдем точки пересечения. Приравнивая уравнения кривых, получим:

-x^2 + 5 = x + 3

Приведем уравнение к квадратичному виду:

x^2 + x - 2 = 0

Решив это квадратное уравнение, найдем два значения x:

x = 1 и x = -2

Теперь мы знаем, что точки пересечения находятся в x = 1 и x = -2. Чтобы найти соответствующие значения y, подставим эти значения обратно в уравнения кривых:

y = -x^2 + 5 При x = 1: y = -1^2 + 5 = 4

y = x + 3 При x = 1: y = 1 + 3 = 4

При x = -2: y = -2 + 3 = 1

Таким образом, точки пересечения равны (1, 4) и (-2, 1).

Теперь мы можем вычислить площадь между этими двумя кривыми, интегрируя разность функций между значениями x = -2 и x = 1:

S = ∫[x=-2 to 1] [(x + 3) - (-x^2 + 5)] dx

Раскроем скобки:

S = ∫[x=-2 to 1] (x + 3 + x^2 - 5) dx

S = ∫[x=-2 to 1] (x^2 + x - 2) dx

Проинтегрируем:

S = [x^3/3 + x^2/2 - 2x] [x=-2 to 1]

Вычислим значения выражения в пределах интегрирования:

S = [(1^3/3 + 1^2/2 - 2(1)) - ((-2)^3/3 + (-2)^2/2 - 2(-2))]

S = [(1/3 + 1/2 - 2) - (-8/3 + 2 - 4)]

S = [(1/3 + 1/2 - 2) - (-8/3 - 2 + 4)]

S = [(1/3 + 1/2 - 2) - (-8/3 + 2 + 4)]

S = [(1/3 + 1/2 - 2) - (-8/3 + 6)]

S = [(1/3 + 1/2 - 2) - (-8/3 + 6)]

S = [-5/6]

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 +