Question

На доске написаны целые числа от 1 до 10. За один ход разрешается стереть любые 2 числа (обозначим их через x и y), а вместо них записать на доску числа x-1 и y+5 (то есть одно из стертых чисел уменьшается на 1, а второе увеличивается на 5). Могли ли через некоторое количество таких ходов на доске оказаться числа 2,3,4,5,6,7,8,9,10,2016? Ответ дайте с пояснением

Answer 1

Нет, т.к y+5 не может быть ответом 3

Answer 2

Нет, невозможно получить последовательность чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2016 путем применения описанных ходов.

Рассмотрим сумму всех чисел в исходной последовательности: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55. Каждый ход замены двух чисел x и y изменяет сумму на (x-1) + (y+5) - x - y = 4. То есть каждый ход изменяет сумму на 4.

Изначально сумма чисел равна 55, а сумма целевой последовательности 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 2016 = 2070. Разность между этими суммами равна 2070 - 55 = 2015.

Заметим, что разность 2015 не является кратной 4 (делится на 4 без остатка). Это означает, что сумма чисел на доске никогда не сможет стать равной 2070 путем применения описанных ходов, поскольку каждый ход изменяет сумму на 4.

Таким образом, невозможно получить последовательность чисел 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2016, используя описанные ходы.