Question

В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O - центр окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Известно, что BC=6, MN=3. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC

Answer 1

Треугольники AMN и ABC подобные с коэффициентом |cos A|. Возможны два случая:

1) AM = AB cos A, AN = AC cos A, если угол A острый, то есть точки M, N лежат внутри сторон AC, AB;

2) AM = AB cos (180° − A) = −AB cos A, AN = AC cos (180° − A) = −AC cos A (косинус отрицательный), если угол A тупой, то есть точки M, N лежат на продолжениях сторон AC, AB;

в первом случае угол A у треугольников общий, во втором — углы при вершине A вертикальные.

Следовательно,

|cos A| = MN/BC = ½,
∠A = 60° или 120°.

Лучи BO и CO являются биссектрисами внешних углов треугольника ABC, поэтому

∠BOC = 180° − (∠OBC + ∠OCB) = 180° − ½(180° − ∠ABC + 180° − ∠ACB) =
= ½(∠ABC + ∠ACB) = ½(180° − ∠A) = 90° − ½∠A.

R(BOC) = BC/(2 sin BOC) = BC/(2 sin (90° − ½A)) = BC/(2 cos ½A).

Если ∠A = 60°, то R(BOC) = 12/(2 cos 30°) = 4√3.

Если ∠A = 120°, то R(BOC) = 12/(2 cos 60°) = 12.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на перпендикуляре, проведенном к середине соответствующей стороны треугольника.

Поскольку MN является высотой треугольника ABC, точка O лежит на перпендикуляре, опущенном из середины BC, то есть на отрезке BO. Аналогично, O также лежит на перпендикуляре, опущенном из середины AC, и, следовательно, на отрезке CO.

Поскольку MN является высотой треугольника ABC, то BM и CN также являются высотами. Значит, треугольники BOM и CON подобны треугольнику ABC по принципу общей боковой стороны и углу. Это означает, что соответствующие отношения их сторон равны.

Пусть r - радиус окружности, описанной около треугольника BOC. Тогда, в соответствии с подобием треугольников:

BO/BC = r/6 и CO/AC = r/6.

Учитывая, что BC = 6, мы можем переписать эти уравнения следующим образом:

BO/6 = r/6 и CO/(6+AC) = r/6.

Из выражения CO/(6+AC) = r/6 мы можем найти CO:

CO = (r/6)(6+AC).

Заметим, что BO + CO = BC = 6. Подставим значения CO и BC:

BO + (r/6)(6+AC) = 6.

Теперь найдем AC. Из треугольника ABC по теореме Пифагора получаем:

AC^2 = BC^2 - AB^2.

Так как AB = 2MN = 6, подставим значения:

AC^2 = 6^2 - 6^2 = 36 - 36 = 0.

Отсюда следует, что AC = 0.

Теперь подставим AC = 0 в уравнение BO + (r/6)(6+AC) = 6:

BO + (r/6)(6+0) = 6.

BO + r = 6.

BO = 6 - r.

Заметим, что BO = BC - CO:

6 - r = (r/6)(6+AC).

Теперь мы можем найти r:

6 - r = r/6 * 6.

6 - r = r.

6 = 2r.

r = 6/2.

r = 3.

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника BOC, равен 3.