Question

Помогите найти определённый интеграл Верх pi/4 Интеграл dx /((cos^2 (x) * корень 5 степени от (tgx +5)) Низ 0

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для нахождения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом замены переменной.

Пусть u = tan(x), тогда du = sec^2(x) dx.

Заменяя переменные, получим:

∫ dx / (cos^2(x) * √(tg(x) + 5)) = ∫ du / (√(u^2 + 5) * (1 + u^2)).

Теперь рассмотрим новый интеграл ∫ du / (√(u^2 + 5) * (1 + u^2)).

Применим метод рационализации знаменателя, умножив числитель и знаменатель на конъюгат в знаменателе:

= ∫ (1 - u^2) du / (√(u^2 + 5) * (1 + u^2) * (√(u^2 + 5) + u)).

Теперь воспользуемся методом частичных дробей для разложения интегранда на простые дроби:

(1 - u^2) / ((√(u^2 + 5) * (1 + u^2) * (√(u^2 + 5) + u)) = A / (√(u^2 + 5)) + B / (1 + u^2) + C / (√(u^2 + 5) + u).

Умножим обе части этого равенства на (√(u^2 + 5) * (1 + u^2) * (√(u^2 + 5) + u)):

1 - u^2 = A(1 + u^2)(√(u^2 + 5) + u) + B(√(u^2 + 5)) + C(1 + u^2)(√(u^2 + 5) + u).

Теперь подставим значения u, при которых каждая дробь обращается в ноль, и найдем коэффициенты A, B и C. После этого разложим интегранд на простые дроби:

(1 - u^2) / ((√(u^2 + 5) * (1 + u^2) * (√(u^2 + 5) + u)) = (2/5) / (√(u^2 + 5)) - (2/5)u / (1 + u^2) + (1/5) / (√(u^2 + 5) + u).

Теперь мы можем интегрировать каждую простую дробь по отдельности:

∫ (2/5) / (√(u^2 + 5)) du - ∫ (2/5)u / (1 + u^2) du + ∫ (1/5) / (√(u^2 + 5) + u) du.

Первый интеграл равен (2/5)arcsinh(u), второй интеграл равен (-1/5)ln(1 + u^2), а третий ин