Question

Решите неравенство:2log4(x^2)+log2(x+14)<=-log1/2(x+4)+2log2(x+2)

Answer 1

$2\log_4(x^2)+\log_2(x+14) \leqslant -\log_{\frac{1}{2}}(x+4)+2\log_2(x+2)\\ \log_2(x^2(x+14)) \leqslant \log_2((x+4)(x+2)^2)\\ x^3+14x^2 \leqslant x^3+8x^2+20x+16\\ 6x^2-20x-16 \leqslant 0\\ (x-4)(6x+4) \leqslant 0\\ x \in [-\frac{2}{3};4]$

Но необходимо еще учесть ОДЗ каждого логарифма.
Первый исключает возможность нуля, поэтому

Ответ: $x \in [-\frac{2}{3};0) \cup(0;4]$

Answer 2

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом. Начнем с преобразования логарифмических выражений, используя свойства логарифмов:

2log₄(x²) + log₂(x + 14) ≤ -log₁/₂(x + 4) + 2log₂(x + 2)

Применим свойство логарифма, которое гласит, что logₐ(b^c) = c * logₐ(b):

log₄(x²) + log₄(√(x + 14)) ≤ -(log₂(x + 4) / log₂(1/₂)) + log₂((x + 2)²)

Упростим выражение:

log₄(x²) + log₄(√(x + 14)) ≤ -(log₂(x + 4) / log₂(1/₂)) + 2log₂(x + 2)

Применим свойство логарифма, которое гласит, что logₐ(b) = log_c(b) / log_c(a):

log₄(x²) + log₄(√(x + 14)) ≤ -log₂(x + 4) / log₂(1/₂) + 2log₂(x + 2)

Используем также свойство логарифма, что logₐ(b) = 1 / log_b(a):

log₄(x²) + log₄(√(x + 14)) ≤ -log₂(x + 4) / (1 / log₂(2)) + 2log₂(x + 2)

Упростим дальше:

log₄(x²) + log₄(√(x + 14)) ≤ -log₂(x + 4) / (1 / 1) + 2log₂(x + 2)

log₄(x²) + log₄(√(x + 14)) ≤ -log₂(x + 4) + 2log₂(x + 2)

Теперь применим свойство логарифма, что logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(b * c):

log₄(x² * √(x + 14)) ≤ -log₂(x + 4) + log₂((x + 2)²)

Упростим выражение:

log₄(x^(5/2) * (x + 14)^(1/2)) ≤ log₂((x + 2)² / (x + 4))

Применим эквивалентность логарифмического и показательного уравнений:

x^(5/2) * (x + 14)^(1/2) ≤ (x + 2)² / (x + 4)

Теперь решим это уравнение. Однако, обратите внимание, что у нас неравенство, а не уравнение. Это значит, что мы должны учитывать исключения, которые могут появиться при делении на переменную.

Итак, продолжим решение:

Перемножим обе