Question

Катет прямокутного трикутника дорівнює 35 см,а сума гіпотенузи і висоти опущеної на неї - 37 см.Знайти гіпотенузу трикутника.

Answer 1

Дан прямоугольный треугольник АВС, катет АВ = 35 см, сумма гипотенузы АС и высоты ВН равна 37 см.

Примем гипотенузу АС = х.
Высота ВН = 37 - х.
Выразим: sin A = (37-x)/35, cos A = 35/x.
По свойству sin² A + cos² A = 1 запишем уравнение:
((37-х)²/35²)+(35²/х²) = 1.
Если привести подобные, то получим уравнение четвёртой степени.
Решить его трудно.
Можно использовать способ итераций (подбор) с учётом 35 < x < 37.
С помощью программы Wolfram Alpha находим АС = х = 35,0542.

Answer 2

Нехай гіпотенуза трикутника дорівнює $c$ см. За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, ми маємо:

$a^2 + b^2 = c^2$

де $a$ і $b$ - катети трикутника. Відомо, що $a = 35$ см.

Також нам задано, що сума гіпотенузи $c$ і висоти $h$, опущеної на неї, дорівнює 37 см:

$c + h = 37$

Альтернативно, можна записати $h = 37 - c$.

Оскільки висота трикутника опущена на гіпотенузу, вона утворює другий прямокутний трикутник. Застосуємо до цього трикутника теорему Піфагора:

$h^2 + b^2 = c^2$

Підставимо $h = 37 - c$ і $a = 35$ в це рівняння:

$(37 - c)^2 + 35^2 = c^2$

Розкриємо дужки та спростимо рівняння:

$1369 - 74c + c^2 + 1225 = c^2$

$74c = 2594$

$c = \frac{2594}{74} \approx 35.11$

Отже, гіпотенуза трикутника дорівнює приблизно 35.11 см.