Question

в прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 ab=2, ad=6, aa1=4. k-середина ad, m-середина bb1, n-середина a1b1. Найти длину перпендикулярной проекции отрезка c1d1 на плоскость kmn

Answer 1

Введём прямоугольную систему координат с началом координат в точке В (см. рис.).

Найдём координат точек:

K (2; 3; 0), M (0; 0; 2), N (1; 0; 4), C₁ (0; 6; 4), D₁ (2; 6; 4).

Найдём уравнение плоскости (KMN):

A(x - 2) + B(y - 3) + Cz = 0

A(0 - 2) + B(0 - 3) + C(2 - 0) = 0

A(1 - 2) + B(0 - 3) + C(4 - 0) = 0

A(x - 2) + B(y - 3) + Cz = 0

-2A - 3B + 2C = 0

-A - 3B + 4C = 0

-A - 3B + 4C = 0

A + 2C = 0

A(x - 2) + B(y - 3) + Cz = 0

A = -2C

2C - 3B + 4C = 0

A(x - 2) + B(y - 3) + Cz = 0

A = -2C

2C - B = 0

A(x - 2) + B(y - 3) + Cz = 0

A = -2C

B = 2C

-2C(x - 2) + 2C(y - 3) + Cz = 0

-2(x - 2) + 2(y - 3) + z = 0

-2x + 4 + 2y - 6 + z = 0

-2x + 2y + z - 2 = 0

Нормальный вектор к (KMN): n (-2; 2; 1).

Координаты проекции точки C₁ (0; 6; 4): C₂ (x₁; y₁; z₁).

Вектор C₂C₁ (0 - x₁; 6 - y₁; 4 - z₁) ║вектору n (-2; 2; 1).

- x₁ = -2k

6 - y₁ = 2k

4 - z₁ = k

x₁ = 2k

y₁ = 6 - 2k

z₁ = 4 - k

C₂ ∈ (KMN)

-2·2k + 2(6 - 2k) + 4 - k - 2 = 0

-4k + 12 - 4k + 2 - k = 0

14 - 9k = 0

k = 14/9

x₁ = 2·14/9 = 28/9

y₁ = 6 - 2·14/9 = 26/9

z₁ = 4 - 14/9 = 22/9

C₂ (28/9; 26/9; 22/9)

Координаты проекции точки D₁ (2; 6; 4): D₂ (x₂; y₂; z₂).

Вектор D₂D₁ (2 - x₂; 6 - y₂; 4 - z₂) ║вектору n (-2; 2; 1).

2 - x₂ = -2k

6 - y₂ = 2k

4 - z₂ = k

x₂ = 2 + 2k

y₂ = 6 - 2k

z₂ = 4 - k

D₂ ∈ (KMN)

-2(2 + 2k) + 2(6 - 2k) + 4 - k - 2 = 0

-4 - 4k + 12 - 4k + 2 - k = 0

10 - 9k = 0

k = 10/9

x₂ = 2 + 2·10/9 = 38/9

y₂ = 6 - 2·10/9 = 34/9

z₂ = 4 - 10/9 = 26/9

D₂ (38/9; 34/9; 26/9)

C₂D₂ = √((38/9 - 28/9)² + (34/9 - 26/9)² + (26/9 - 22/9)²) =

= √((10/9)² + (8/9)² + (4/9)²) = √(100 + 64 + 16)/9 = √180/9 = 6√5/9 = 2√5/3.

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится найти векторы, задающие отрезки в пространстве.

Из условия известны следующие данные: AB = 2 (длина стороны AB) AD = 6 (длина стороны AD) AA1 = 4 (длина стороны AA1)

Найдем координаты точек: A(0, 0, 0) B(2, 0, 0) C(2, 6, 0) D(0, 6, 0) A1(0, 0, 4) B1(2, 0, 4) C1(2, 6, 4) D1(0, 6, 4)

Теперь найдем координаты середин отрезков: K(0, 3, 0) M(2, 0, 2) N(1, 3, 2)

Построим векторы KM и KN: KM = M - K = (2, 0, 2) - (0, 3, 0) = (2, -3, 2) KN = N - K = (1, 3, 2) - (0, 3, 0) = (1, 0, 2)

Теперь найдем вектор, задающий отрезок C1D1: C1D1 = D1 - C1 = (0, 6, 4) - (2, 6, 4) = (-2, 0, 0)

Найдем проекцию вектора C1D1 на плоскость KMN. Для этого проектирующий вектор должен быть перпендикулярен этой плоскости, то есть проекция C1D1 на проектирующий вектор будет равна нулю.

Найдем проектирующий вектор: P = KM × KN

Где × обозначает векторное произведение.

Выполняя вычисления: P = (2, -3, 2) × (1, 0, 2) = (6, 2, 3)

Теперь найдем длину перпендикулярной проекции отрезка C1D1 на плоскость KMN. Длина проекции будет равна модулю вектора P: |P| = √(6^2 + 2^2 + 3^2) = √(36 + 4 + 9) = √49 = 7

Таким образом, длина перпендикулярной проекции отрезка C1D1 на плоскость KMN составляет 7.