Question

Сумма площадей двух соприкасающих окружностей в одной точке равна 130·pi cm2. Найдите радиусы окружностей, если расстояние между их центрами составляет 14 см.

Answer 1

Введем обозначения: R =14, r1, r2 - радиусы окружностей, S сумма площадей.
S=π(r1^2+r2^2)=π((r1+r2)^2-2r1r2)=π(R^2-2r1r2)=130π
196-2r1r2=130
r1r2=33
Теперь есть два пути: сразу сказать корни по теореме Виета, или составить приведенное квадратное уравнение, где корнями будут являться r1, r2:
x^2-14x+33=0
D= 196-132=64
r1=(14+8)/2=11
r2=(14-8)/2=3
Ответ: 3 и 11

Answer 2

Пусть r₁ и r₂ - радиусы соприкасающихся окружностей, а d - расстояние между их центрами.

Сумма площадей двух окружностей равна площади окружности с радиусом r₁ плюс площади окружности с радиусом r₂:

πr₁² + πr₂² = 130π

Также известно, что расстояние между центрами окружностей составляет 14 см:

d = 14

Соприкасающиеся окружности имеют общую касательную, проходящую через точку соприкосновения. Касательная образует прямоугольный треугольник с линией, соединяющей центры окружностей. Расстояние между центрами окружностей равно гипотенузе этого треугольника, а радиусы - катетам.

Используя теорему Пифагора для этого треугольника, получим:

r₁² + r₂² = d²

Подставим значение d и упростим уравнение:

r₁² + r₂² = 14² r₁² + r₂² = 196

Теперь у нас есть система уравнений:

πr₁² + πr₂² = 130π r₁² + r₂² = 196

Разделим оба уравнения на π:

r₁² + r₂² = 130 r₁² + r₂² = 196

Избавимся от r₁² во втором уравнении:

(130 - r₂²) + r₂² = 196 130 + r₂² - r₂² = 196 130 = 196

Получили противоречие. Это означает, что данная система уравнений не имеет решений. Возможно, была допущена ошибка в условии задачи или в записи уравнений.