Question

Компланарны ли векторы AB, AC, AD, где A(1; 2; 4), B(2; 0; 9), C(−1; 1; 5), D(−3; −2; 11)?

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Векторы будут компланарны, если их смешанное произведение будет равно 0  -  определитель матрицы.

AB = {1;-2;5}

AC = {-2;-1;1}

AD = {-4;-4;7}

1 -2  5

-2 -1  1        =    -7 + 8  + 40 - 20 + 4 - 28 = -3

-4 -4  7

Векторы не компланарны.

Answer 2

Для проверки компланарности векторов AB, AC и AD, нужно убедиться, что эти векторы лежат в одной плоскости. Мы можем сделать это, вычислив векторное произведение между векторами AB и AC, а затем проверив, является ли векторное произведение нулевым вектором.

Вектор AB можно получить, вычтя координаты точки A из координат точки B:

AB = B - A = (2 - 1; 0 - 2; 9 - 4) = (1; -2; 5)

Вектор AC можно получить, вычтя координаты точки A из координат точки C:

AC = C - A = (-1 - 1; 1 - 2; 5 - 4) = (-2; -1; 1)

Вектор AD можно получить, вычтя координаты точки A из координат точки D:

AD = D - A = (-3 - 1; -2 - 2; 11 - 4) = (-4; -4; 7)

Теперь вычислим векторное произведение между AB и AC:

AB × AC = (1; -2; 5) × (-2; -1; 1)

Для вычисления векторного произведения мы можем использовать следующую формулу:

AB × AC = (AB_y * AC_z - AB_z * AC_y, AB_z * AC_x - AB_x * AC_z, AB_x * AC_y - AB_y * AC_x)

Подставим значения:

AB × AC = (1 * 1 - 5 * (-1), 5 * (-2) - 1 * (-2), 1 * (-1) - (-2) * 1) = (1 + 5, -10 - 2, -1 + 2) = (6, -12, 1)

Получили вектор (6, -12, 1).

Теперь проверим, является ли этот вектор нулевым вектором. Если все компоненты равны нулю, то векторное произведение равно нулевому вектору, что означает, что векторы AB, AC и AD являются компланарными.

Однако, в нашем случае, вектор (6, -12, 1) не является нулевым вектором, поэтому векторы AB, AC и AD не являются компланарными.